Загрузка заданий...
Вариант 23 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 1189 | 841 |
| 4 | 210 | 148 |
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
Ответ: 3124
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
Ответ: 8
3
Задание 3
1 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
Ответ: 210
4
Задание 4
1 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
Ответ: 1.4
5
Задание 5
1 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
Ответ: 11
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{9}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{1} + \frac{9}{4}\).
Последовательно выполняем действия (сложение):
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) + \frac{9}{4} = \frac{13}{4}\).
Получили дробь \(\frac{13}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(3,25\).
Ответ: \(3,25\).
Ответ: 3,25
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 2. Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число 2 по своему значению совпадает с точкой C.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{72} + \sqrt{32})\sqrt{2}$$
Решение
Вычислим выражение: (√72 + √32)·√2.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √72 = 6√2, √32 = 4√2.
Тогда получаем (6√2 + 4√2)·√2 = 10√2·√2.
Так как √2·√2 = 2, имеем 10·2 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 6x + 8 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 6x + 8 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 6, c = 8.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 6² - 4·1·8 = 4.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (-6 - √4) / 2 = -4
x₂ = (-6 + √4) / 2 = -2
Ответ: -4;-2
Ответ: -4;-2
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события B.
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,5.
Ответ: 0,5
Ответ: 0,5
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k < 0, b > 0
2) k > 0, b > 0
3) k > 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 30 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0001 и U = 30 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0001·30² / 2 = 0,045.
Ответ: 0,045.
Ответ: 0,045
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Решение
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -5° C.
Решение
Температура уменьшается равномерно на 9° C в минуту.
Через 9 минут изменение составит 9·9 = 81° C.
Итоговая температура: -5 - 81 = -86.
Ответ: -86.
Ответ: -86
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 8/5, BC = 20. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.\nЗначит, AC = BC · tg B = 20 · \(\frac{8}{5}\) = 32.\nОтвет: 32.
Ответ: 32
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 14, BC = 8, CD = 22. Найдите AD.
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.\nДля трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.\nAD = AB + CD - BC = 14 + 22 - 8 = 28.\nОтвет: 28.
Ответ: 28
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.
Решение
При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.\nСледовательно, меньшее основание равно 5 - 4 = 1.\nОтвет: 1.
Ответ: 1
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 8 и 4.
Искомое отношение площадей равно (8 / 4)² = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
3) Верно.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-10}{(x-3)^2-5}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-10<0\), поэтому дробь \(\ge0\) только когда знаменатель отрицателен.
(При нулевом знаменателе дробь не определена — такие точки исключаются.)
Шаг 1. Ставим условие на знаменатель: \((x-3)^2-5<0\).
Шаг 2. Переносим: \((x-3)^2<5\).
Шаг 3. Извлекаем корень: \(-\sqrt{5}<x-3<\sqrt{5}\).
Шаг 4. Прибавляем 3 ко всем частям: \(3-\sqrt{5}<x<3+\sqrt{5}\).
Ответ: \((3-\sqrt{5};\; 3+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: [3-√5;3+√5]
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).
Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 5) км/ч.
Шаг 2. Время в пути одинаковое с учётом остановки:
180/x = 180/(x+5) + 3.
Шаг 3. Переносим и умножаем на x·(x+5): 3x² + 15x − 900 = 0.
Шаг 4. D = 11025, √D = 105. x = (−15+105)/(2·3) = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=-4-\dfrac{x+1}{x^2+1x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-4-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-1 \).
У функции \( y=-4-\frac1x \) нет значений \( y=-4 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-3 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-4; -3 \).
Ответ: -4; -3.
Правильный ответ: -4; -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 4, CK = 13.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.
Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).
Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.
Шаг 2. AB = BK = 4.
Шаг 3. BC = BK + CK = 4 + 13 = 17.
Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(4 + 17) = 42.
Ответ: 42.
Правильный ответ: 42
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников AB₁C₁ и ABC.
Шаг 1. Угол A — общий (∠B₁AC₁ = ∠BAC).
Шаг 2. BB₁ ⊥ AC ⟹ в △BB₁A: ∠ABB₁ = 90° − ∠A.
CC₁ ⊥ AB ⟹ в △CC₁A: ∠ACC₁ = 90° − ∠A.
Значит ∠AB₁C₁ = 90° − ∠A = ∠ABC, т.е. ∠AB₁C₁ = ∠ABC.
Шаг 3. По двум равным углам △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=25 и R=100.
O₁O₂ = r + R = 125 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(100·25) = 2√2500 = 100.
Ответ: 100.
Правильный ответ: 100
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: