Загрузка заданий...

Вариант 23 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 4, кладовая — 5, спальня — 7, кухня — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 4573.

Ответ: 4573

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,16 = 24,64 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,4 = 0,08 кв. м.

Нужно элементов: 24,64 / 0,08 = 308.

В одной упаковке 8 штук, значит понадобится 39 упаковок.

Ответ: 39.

Ответ: 39

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м.

Значит, площадь равна 36 · 0,64 = 23,04 кв. м.

Ответ: 23,04.

Ответ: 23,04

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:

План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.

План «1000»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 900 руб.

Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{5}) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{20}$.

Получили дробь $\frac{3}{20}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,15$.

Ответ: $0,15$.

Ответ: 0,15

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-2 - a > 0

-3 - a > 0

a > -2

$\frac{1}{a} > 0$

Решение

По чертежу видно, что -3 < a < -2.

Проверим варианты ответа:

1) -2 - a > 0 ⇔ a < -2 — верно.

2) -3 - a > 0 ⇔ a < -3 — неверно.

3) a > -2 ⇔ a > -2 — неверно.

4) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5^{-3} \cdot (5^2)^3$$

Решение

Вычислим выражение: 5^(-3) · (5^2)^3.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^2)^3 = 5^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-3 · 5^6 = 5^3.

Получаем 5^3 = 125.

Ответ: 125.

Ответ: 125

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5x + 18 = 33

Решение

Решим уравнение: 5x + 18 = 33

Перенесём 18 в правую часть:

5x = 33 - 18

5x = 15

Разделим обе части на 5:

x = 15 / 5

x = 3

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,6.

Ответ: 0,6

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) y = 1x² - 4

Б) y = 2x - 4

В) y = √x

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,3 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,3 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,3 = 2 940.

Ответ: 2 940.

Ответ: 2 940

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

6x > x + 2

(-∞;0,4)

(0;+∞)

(-∞;-0,4)

(0,4;+∞)

Решение

Решим неравенство: 6x > x + 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x > 2.

Делим обе части на 5: x > 0,4.

Значит, x больше 0,4.

Этому соответствует промежуток (0,4;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 12 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = -5.

Последний положительный член прогрессии равен 2, значит секунд движения до полной остановки было 3.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 3·(12 + 2)/2 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 5, AC = 3. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{3}{5}$ = 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

Значит, диагональ равна 5.

Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.

После вычисления сторон получаем площадь 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ BD делит угол B на два данных угла.

Угол B равен 65° + 50° = 115°.

Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 115° = 65°.

Ответ: 65.

Ответ: 65

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 5 и 8.

Больший катет равен 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-3x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+40$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сокращаем $\sqrt{6-x}$.

Шаг 1. После сокращения:

$x^2-3x=40$.

Шаг 2. Решаем:

$x^2-3x-40=0\Rightarrow(x-8)(x+5)=0$.

Корни: $x=8$ и $x=-5$.

Шаг 3. ОДЗ: $6-x\ge0\Rightarrow x\le6$. Значит $x=8$ не подходит.

Ответ: $-5$.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 4. Против течения: x − 4.

Шаг 2. Составляем уравнение:

210/(x+4) + 9 + 210/(x−4) = 27.

Шаг 3. Переносим стоянку: 210/(x+4) + 210/(x−4) = 18.

Шаг 4. Умножаем на (x+4)(x−4) = x²−16:

210(x−4) + 210(x+4) = 18(x²−16).

Шаг 5. Левая часть: 2·210·x = 420x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 24.

Шаг 7. Проверка: $\frac{15}{2}$ + 9 + $\frac{21}{2}$ = 27. ✓

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+2,& x\ge -2,\\-\dfrac{6}{x},& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (0;2)∪(6;+∞).

Ответ: (0;2)∪(6;+∞).

Правильный ответ: (0;2)∪(6;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 1. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 24 + 1 = 25.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 25 и катетом DH = 24.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(25² − 24²) = √(49) = 7.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов B и C перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠B + ∠C = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠B/2 + ∠C/2 = 90°.

Значит в △M (треугольник при пересечении биссектрис) угол при M равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла B.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до M равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем M — середина AD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 16 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 30, AB = 16, CD = 34, BC = 2.

Шаг 3. AD = BC + AB = 2 + 16 = 18.

S = (BC + AD)/2 · h = (2 + 18)/2 · 30 = 272.

Ответ: 272.

Правильный ответ: 272

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.