Загрузка заданий...
Вариант 24 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 26.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1,5 ГБ, 2 ГБ, 3,75 ГБ, 1 ГБ.
| Мобильный интернет | 1,5 ГБ | 2 ГБ | 3,75 ГБ | 1 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 83117.
Ответ: 83117
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июне составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент не превышал лимит ни по пакету минут, ни по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно не превышены лимит 300 минут и лимит 3 ГБ в четырёх месяцах. Ответ: 4.
Ответ: 4
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?
Решение
В июле 1 ГБ, в августе 1,5 ГБ. Увеличение 0,5 ГБ; 0,5 : 1 · 100% = 50%. Ответ: 50.
Ответ: 50
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 460 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 130 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не даёт экономии по сравнению с фактическими расходами на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,06 + \frac{7}{5} \cdot 3,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,06 + \frac{7}{5} \cdot 3,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{5}) \cdot 3,5 = 4,9\).
Шаг 2: \((0,06) + 4,9 = 4,96\).
Получили результат \(4,96\).
Ответ: \(4,96\).
Ответ: 4,96
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами 0,25 и \(\frac{21}{10}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа 0,25 и \(\frac{21}{10}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (1,96) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(3\sqrt{2})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (3√2)².
Используем свойство степени произведения: (3√2)² = 3² · (√2)².
Получаем 9 · 2 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{2}{x + 2} = 2$$
Решение
Решим уравнение: 2/(x + 2) = 2
Область допустимых значений: x != -2.
Умножим обе части уравнения на x + 2:
2 = 2(x + 2)
Раскроем скобки:
2 = 2x + 4
Перенесём число в левую часть:
-2 = 2x
x = -2 / 2
x = -1
Проверка ОДЗ: x = -1, x != -2, условие выполняется.
Ответ: -1
Ответ: -1
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 23 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 177 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 177/200 = 0,885.
Ответ: 0,885.
Ответ: 0,885
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) y = 2x - 4
2) y = -1x + 4
3) y = -0,5x + 3
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 213.
Ответ: 213
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 41 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 41 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(41 − 32)/9 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 > 36
1
2
3
4
Решение
Из неравенства x² > 36 получаем границы x = ±6. Верное решение: (-∞;-6) ∪ (6;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 21 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 21, d = 2.
Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 21 + 7·2 = 35.
Ответ: 35.
Ответ: 35
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 9 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 9 · 6 = \(\frac{54}{2}\) = 27.
Ответ: 27.
Ответ: 27
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 17°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.
Тогда угол ACB опирается на диаметр и равен 90°.
Следовательно, ∠ABC = 90° - 17° = 73°.
Ответ: 73.
Ответ: 73
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 20, а tg ∠BCA = 0,8. Найдите площадь ромба.
Решение
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.
Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 20 · 0,8 = 16.
S = AC · BD / 2 = 20 · 16 / 2 = 160.
Ответ: 160.
Ответ: 160
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 8 и 10.
Больший катет равен 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 12.
Ответ: 12
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 2 — левые части станут одинаковыми.
Шаг 1. Умножаем первое на 2: \(10x^2+2y^2=72\).
Шаг 2. По второму уравнению: \(10x^2+2y^2=36x\).
Шаг 3. Левые части равны — приравниваем правые:
\(72=36x\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. Подставляем \(x=2\) в первое уравнение:
\(5\cdot4+y^2=36\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4\).
Ответ: \((2;\,-4);\ (2;\,4)\).
Правильный ответ: (2;-4);(2;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 2 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 9 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.
Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 5) км/ч.
Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 2 км.
Длина круга = x + 2 км.
Шаг 3. Второй пробежал круг 9 мин назад, то есть за (1 − \(\frac{9}{60}\)) = 0,85 ч.
Длина круга = (x + 5) · 0,85 км.
Шаг 4. Приравниваем: x + 2 = (x + 5) · 0,85.
Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 15 км/ч.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-1/9 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-1/9 \), откуда \( k=81 \).
Ответ: 81.
Правильный ответ: 81
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 24² + (AB/2)² = 24² + 7² = 625. R = 25.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 7 от центра:
(CD/2)² = R² − 7² = 625 − 49 = 576.
CD/2 = 24.
Шаг 3. CD = 2 · 24 = 48.
Ответ: 48.
Правильный ответ: 48
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка M равноудалена от S и T
⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.
Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.
Следовательно, MN ⟂ ST. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 90, MD = 69, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.
Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.
Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?
Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).
Шаг 3. AM = AD − MD = 90 − 69 = 21.
AM² = 441.
AH = AM² / AD = 441 / 90 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).
Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 90 − 4761/90 = 37,1.
Ответ: 37,1.
Правильный ответ: 37,1
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.