Загрузка заданий...

Вариант 25 — ОГЭ по математике

Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/60 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.

Ответ: 225

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 235/50 R17?

Решение

В маркировке 235/50 R17 ширина шины равна 235 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 235 · 50 / 100 = 117.5 мм. Ответ: 117.5.

Ответ: 117.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и нового колеса 225/50 R17. Ответ: 7.6.

Ответ: 7.6

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/60 R16 получаем диаметр 664.4 мм. Ответ: 664.4.

Ответ: 664.4

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и колеса 225/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.1.

Ответ: 1.1

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{4}{1} - \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{4}{1} - \frac{1}{1}$.

Последовательно выполняем действия (вычитание):

Шаг 1: $(\frac{4}{1}) - \frac{1}{1} = \frac{3}{1}$.

Получили дробь 3.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $3$.

Ответ: $3$.

Ответ: 3

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

2 - a > 0

a < 3

$\frac{1}{a} < 0$

a - 3 > 0

Решение

По чертежу видно, что 2 < a < 3.

Проверим варианты ответа:

1) 2 - a > 0 ⇔ a < 2 — неверно.

2) a < 3 ⇔ a < 3 — верно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) a - 3 > 0 ⇔ a > 3 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{4} - 5)(\sqrt{4} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√4 - 5)(√4 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√4)² - 5² = 4 - 25 = -21.

Ответ: -21.

Ответ: -21

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x + 4y = 31 \\ 8x + y = -50 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-x + 4y = 31

8x + y = -50

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на -1.

Получим:

$(-x + 4y = 31) \cdot 8$: -8x + 32y = 248

$(8x + y = -50) \cdot -1$: -8x - 1y = 50

Вычтем второе уравнение из первого:

33y = 198

y = 198 / 33 = 6

Подставим y = 6 в первое уравнение:

-x + 4y = 31

Получаем x = -7.

Ответ: (-7;6)

Ответ: -7;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 153 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 47 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 47/200 = 0,235.

Ответ: 0,235.

Ответ: 0,235

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = -2x - 4

Б) y = √x

В) y = -1x² - 2

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 20, sinα = 0,583, а S = 70.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·70/(20·0,583) = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 3)(x - 7) ≥ 0

Решение

Нули выражения: x = -3 и x = 7. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 7 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 7) >= 0 получаем решение (-∞;-3] ∪ [7;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 12 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 12, d = 10, n = 5.

Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·12 + 4·10)/2 = 160.

Ответ: 160.

Ответ: 160

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, AC = 18. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.\nДля угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.\ntg B = AC / BC = $\frac{18}{3}$ = 6.\nОтвет: 6.

Ответ: 6

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 14, BC = 6, CD = 22. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.\nТо есть AB + CD = BC + AD.\nAD = AB + CD - BC = 14 + 22 - 6 = 30.\nОтвет: 30.

Ответ: 30

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 20, а tg ∠BCA = 0,8. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.\nПоэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.\nСледовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 20 · 0,8 = 16.\nS = AC · BD / 2 = 20 · 16 / 2 = 160.\nОтвет: 160.

Ответ: 160

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.\nПо клеткам диагонали равны 12 и 2.\nS = 12 · 2 / 2 = 12.\nОтвет: 12.

Ответ: 12

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-2)^4+3(x-2)^2-10=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биквадратное по $(x-2)$. Замена $t=(x-2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+3t-10=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+5)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-5$, $t_2=2$.

Шаг 3. Так как $t\ge0$, берём только $t=2$. (Значение $t=-5$ исключаем.)

Шаг 4. Решаем $(x-2)^2=2$:

$x-2=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{2}$.

Ответ: $2-\sqrt{2};\quad 2+\sqrt{2}$.

Правильный ответ: 2-√2;2+√2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).

Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:

86 − 6 = 80 км/ч.

Шаг 2. Переводим в м/с: 80 × 1000 / 3600 = 200/9 м/с.

Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 18 с, значит его длина:

200/9 × 18 = 400 м.

Ответ: 400.

Правильный ответ: 400

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции

\[y=\dfrac{5/2|x|-1}{|x|-5/2x^2}\]

Определите, при каких значениях k прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть |x| на промежутках x > 0 и x < 0 и найти недостижимые наклоны.

Шаг 1. При x > 0: |x| = x, функция y = ($\frac{5}{2}$x−1)/(x−$\frac{5}{2}$x²) = ($\frac{5}{2}$x−1)/(x(1−$\frac{5}{2}$x)).

При x → 0⁺ и x → 1/5/2 выявляем асимптотическое поведение; прямая y = kx не достигает k = ±$\frac{25}{4}$.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, аналогично получаем, что k = 0 также недостижимо.

Шаг 3. Итого три значения k, при которых прямая y = kx не имеет общих точек с графиком: −$\frac{25}{4}$, 0, $\frac{25}{4}$.

Ответ: -$\frac{25}{4}$; 0; $\frac{25}{4}$.

Правильный ответ: -25/4; 0; 25/4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.

Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.

Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.

Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).

Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).

PK = BH = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти два равных угла у треугольников AB₁C₁ и ABC.

Шаг 1. Угол A — общий (∠B₁AC₁ = ∠BAC).

Шаг 2. BB₁ ⊥ AC ⟹ в △BB₁A: ∠ABB₁ = 90° − ∠A.

CC₁ ⊥ AB ⟹ в △CC₁A: ∠ACC₁ = 90° − ∠A.

Значит ∠AB₁C₁ = 90° − ∠A = ∠ABC, т.е. ∠AB₁C₁ = ∠ABC.

Шаг 3. По двум равным углам △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=42 и R=84.

O₁O₂ = r + R = 126 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(84·42) = 2√3528 = 84√2.

Ответ: 84√2.

Правильный ответ: 84√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2