Загрузка заданий...
Вариант 2158 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
| Мобильный интернет | 2 ГБ | 2,5 ГБ | 4 ГБ | 3,5 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.
Ответ: 3142
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 430 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 180 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$4,5 \cdot 0,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(4,5 \cdot 0,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((4,5) \cdot 0,5 = 2,25\).
Ответ: \(2,25\).
Ответ: 2,25
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) a + 4 < 0 ⇔ a < -4 — неверно.
2) a > -3 ⇔ a > -3 — неверно.
3) -3 - a > 0 ⇔ a < -3 — верно.
4) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{7} \cdot \sqrt{21}$$
Решение
Вычислим выражение: 6√3 · 6√7 · √21.
Перемножим коэффициенты: 6 · 6 = 36.
Подкоренные выражения дают: √3 · √7 · √21 = √(3·7·21) = √(441) = 21.
Тогда всё выражение равно 36 · 21 = 756.
Ответ: 756.
Ответ: 756
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x + 2y = -19 \\ -2x + 8y = -46 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-3x + 2y = -19
-2x + 8y = -46
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на -3.
Получим:
\((-3x + 2y = -19) \cdot -2\): 6x - 4y = 38
\((-2x + 8y = -46) \cdot -3\): 6x - 24y = 138
Вычтем второе уравнение из первого:
20y = -100
y = -100 / 20 = -5
Подставим y = -5 в первое уравнение:
-3x + 2y = -19
Получаем x = 3.
Ответ: (3;-5)
Ответ: 3;-5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 16 чёрных, 15 жёлтых и 9 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 15 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{15}{40}\) = 0,375.
Ответ: 0,375.
Ответ: 0,375
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -x^2 - 2\)
Б) \(y = -2x - 4\)
В) \(y = \sqrt{x}\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.
Ответ: 321
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 8,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 361,25 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 361,25/(8,5²) = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 2)(x - 8) ≥ 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -2 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 8) >= 0 получаем решение (-∞;-2] ∪ [8;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 63 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 63 минут пройдёт 7 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 400·(\(\frac{1}{2}\))^7 = 3,125 мг.
Ответ: 3,125.
Ответ: 3,125
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 8, AB = 10. Найдите cos B.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{8}{10}\) = 0,8.
Ответ: 0,8.
Ответ: 0,8
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 48°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.
В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 48° = 42°.
Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.
Следовательно, ∠NMB = 42°.
Ответ: 42.
Ответ: 42
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 1 и 14, а высота равна 8. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (1 + 14) / 2 = 7,5.
Ответ: 7,5.
Ответ: 7,5
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно: смежные углы могут быть оба по 90°.
2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.
3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((3-x)(x^2-9)\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: разложить через \((x-3)\).
Шаг 1. \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) и \(3-x=-(x-3)\).
Шаг 2. Перемножаем: \((3-x)(x^2-9)=-(x-3)^2(x+3)\).
Шаг 3. Неравенство: \(-(x-3)^2(x+3)\ge0\).
Шаг 4. Делим на \(-1\): \((x-3)^2(x+3)\le0\).
Шаг 5. Произведение \(\le0\) когда \(x+3\le0\Rightarrow x\le-3\), или \(x=3\).
Ответ: \((-\infty;\;-3]\cup\{3\}\).
Правильный ответ: (-∞;-3]∪{3}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 25 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.
Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 5 км/ч.
Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 25 км.
Время плота в пути: 25 / 5 = 5 ч.
Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:
5 − 1 = 4 ч.
Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:
48/(x+5) + 48/(x−5) = 4.
Шаг 5. Умножаем на (x+5)(x−5) и упрощаем: квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение: x = 25.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{8}{5}\) + \(\frac{12}{5}\) = 4. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+0,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-1; 1; 1,25 \).
Ответ: \( -1; 1; 1,25 \).
Правильный ответ: -1; 1; 1,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 16, а AB = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 16, AB = 15.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 16·AC − 15² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 16·AC − 225 = 0.
Положительный корень: AC = 25.
Проверка: D = (25² − 15²)/25 = 400/25 = 16. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.
Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 7 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 5 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 7. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 5 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 13 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).
Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.
Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·5 = 10.
Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).
Площадь = BC · h = ... = 720.
Ответ: 720.
Правильный ответ: 720
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.