Загрузка заданий...

Вариант 2159 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1 ГБ, 3 ГБ, 3,25 ГБ, 1,5 ГБ.

Мобильный интернет	1 ГБ	3 ГБ	3,25 ГБ	1,5 ГБ
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 76108.

Ответ: 76108

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в феврале?

Решение

В феврале минуты не превышают пакет, а интернет превышает пакет на 0,5 ГБ. Доплата за 0,5 ГБ равна 90 руб. Итого: 350 + 90 = 440 руб. Ответ: 440.

Ответ: 440

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит по пакету мобильного интернета?

Решение

По пунктирному графику лимит 3 ГБ превышен в четырёх месяцах. Ответ: 4.

Ответ: 4

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в феврале по сравнению с январём 2019 года?

Решение

В январе 2,5 ГБ, в феврале 3,5 ГБ. Увеличение: 3,5 − 2,5 = 1 ГБ. Процент увеличения: 1 : 2,5 · 100% = 40%. Ответ: 40.

Ответ: 40

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	440 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	120 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	180 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф оказался выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 440 руб. Ответ: 440.

Ответ: 440

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,045 + 0,075$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,045 + 0,075$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,045) + 0,075 = 0,12$.

Ответ: $0,12$.

Ответ: 0,12

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел 0,2, $\frac{\sqrt{24}}{2}$, $\frac{23}{6}$, $\sqrt{24}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

0,2

$\frac{\sqrt{24}}{2}$

$\frac{23}{6}$

$\sqrt{24}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) 0,2 ≈ 0,2

2) $\frac{\sqrt{24}}{2}$ ≈ 2,4495

3) $\frac{23}{6}$ ≈ 3,8333

4) $\sqrt{24}$ ≈ 4,899

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} - 1)(\sqrt{12} + 1)$$

Решение

Вычислим выражение: (√12 - 1)(√12 + 1).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√12)² - 1² = 12 - 1 = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 3x - y = -11 \\ 4x - 7y = -26 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

3x - y = -11

4x - 7y = -26

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на 3.

Получим:

$(3x - y = -11) \cdot 4$: 12x - 4y = -44

$(4x - 7y = -26) \cdot 3$: 12x - 21y = -78

Вычтем второе уравнение из первого:

17y = 34

y = 34 / 17 = 2

Подставим y = 2 в первое уравнение:

3x - y = -11

Получаем x = -3.

Ответ: (-3;2)

Ответ: -3;2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.625 и 0.375: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.2, по нижнему 0.25.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.625 · 0.2 = 0.125.

Нижний путь: 0.375 · 0.25 = 0.09375.

Складываем: 0.125 + 0.09375 = 0.21875.

Ответ: 0,21875

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = 2x^2 + 14x + 24$

Б) $y = x + 1$

В) $y = \dfrac{1}{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 14 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 14 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·14² / 2 = 0,0098.

Ответ: 0,0098.

Ответ: 0,0098

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-9x - 1 ≤ -7x + 2

(-∞;-1,5]

(-∞;-0,5]

[-1,5;+∞)

(-∞;0]

Решение

Решим неравенство: -9x - 1 <= -7x + 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x >= 3.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -2: x >= -1,5.

Значит, x больше или равно -1,5.

Этому соответствует промежуток [-1,5;+∞).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 39 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 7 секунд торможения?

Решение

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 39, d = -3, n = 7.

Сумма первых 7 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 7(2·39 + 6·(-3))/2 = 210.

Ответ: 210.

Ответ: 210

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите медиану этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 43°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 43° = 47°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 47°.

Ответ: 47.

Ответ: 47

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 25° и 75°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.

Искомый угол равен 180° - 25° - 75° = 80°.

Ответ: 80.

Ответ: 80

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 8 и 2.

Искомое отношение площадей равно (8 / 2)² = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y=12,\\9x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(5x^2+y)+(9x^2-y)=12+2\Rightarrow 14x^2=14$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=12-5x^2=12-5=7$.

Ответ: $(-1;\,7);\ (1;\,7)$.

Правильный ответ: (-1;7);(1;7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 140 литров она заполняет на 3 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 6) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 140/x мин, второй — 140/(x+6) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 3 мин дольше:

140/x − 140/(x+6) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x(x+6):

140·(x+6) − 140·x = 3·x·(x+6).

840 = 3·x² + 18·x.

3x² + 18x − 840 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·3·840 = 324 + 10080 = 10404, √D = 102.

x = (−18 + 102) / (2·3) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 140/14 = 10 мин, вторая — 140/20 = 7 мин.

10 − 7 = 3 = 3. ✓

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| - 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x - 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x - 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -3.

Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: -3.

Правильный ответ: -3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и CH = 5. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 20 + 5 = 25.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 25 и катетом DH = 20.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(25² − 20²) = √(225) = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов A и B перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠B = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠B/2 = 90°.

Значит в △N (треугольник при пересечении биссектрис) угол при N равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до N равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем N — середина CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−22, 0), D = (22, 0) (|AD| = 44).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (44, h). На прямой BE точка E = (0, 44 − h), так как BE = 44.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{44}{4}$ = 33.

Шаг 5. AB = √(h² + (22)²) = √(1089 + 484) = 11√13;

BC = 2·AB = 22√13; CA = 33√5.

Ответ: 11√13; 22√13; 33√5.

Правильный ответ: 11√13; 22√13; 33√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.