Загрузка заданий...

Вариант 2190 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 2, Старая — 4, Николаево — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Осиновка до села Николаево, если они поедут по шоссе через деревню Старая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Осиновка до Старая и от Старая до Николаево.

От Осиновка до Старая: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Старая до Николаево: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Осиновка до села Николаево по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Осиновка в село Николаево Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 10 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 10 ч.

В минутах это 120 мин.

Ответ: 120.

Ответ: 120

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Осиновка	Николаево	Зябликово	Старая
Молоко (1 л)	42	49	52	48
Хлеб (1 батон)	27	29	32	38
Сыр «Российский» (1 кг)	259	250	255	264
Говядина (1 кг)	328	318	324	319
Картофель (1 кг)	34	19	24	30

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Осиновка, селе Николаево, деревне Зябликово и деревне Старая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Осиновка: 2·42=84 + 3·27=81 + 2·328=656 + 4·34=136 + 1·259=259 = 1 216

Николаево: 2·49=98 + 3·29=87 + 2·318=636 + 4·19=76 + 1·250=250 = 1 147

Зябликово: 2·52=104 + 3·32=96 + 2·324=648 + 4·24=96 + 1·255=255 = 1 199

Старая: 2·48=96 + 3·38=114 + 2·319=638 + 4·30=120 + 1·264=264 = 1 232

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Николаево": 1 147 руб.

Ответ: 1 147.

Ответ: 1147

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} : \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} : \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) : \frac{3}{4} = \frac{4}{3}$.

Шаг 2: $(\frac{4}{3}) \cdot \frac{9}{2} = \frac{6}{1}$.

Получили дробь 6.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $6$.

Ответ: $6$.

Ответ: 6

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами $-\frac{73}{20}$ и -3,32?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\sqrt{5}$

1,125

$-\frac{5}{1}$

-3,4

Решение

Сравним числа $-\frac{73}{20}$ и -3,32. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-3,4) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{10} \cdot \sqrt{100}$$

Решение

Вычислим выражение: 4√10 · 5√10 · √100.

Перемножим коэффициенты: 4 · 5 = 20.

Подкоренные выражения дают: √10 · √10 · √100 = √(10·10·100) = √(10000) = 100.

Тогда всё выражение равно 20 · 100 = 2000.

Ответ: 2000.

Ответ: 2000

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-2}{x - 3} = 1$$

Решение

Решим уравнение: -2/(x - 3) = 1

Область допустимых значений: x != 3.

Умножим обе части уравнения на x - 3:

-2 = 1(x - 3)

Раскроем скобки:

-2 = 1x - 3

Перенесём число в левую часть:

1 = 1x

x = 1 / 1

x = 1

Проверка ОДЗ: x = 1, x != 3, условие выполняется.

Ответ: 1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 38 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{38}{40}$ = 0,95.

Ответ: 0,95.

Ответ: 0,95

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -2x^2 - 6x + 1$

Б) $y = \dfrac{1}{10x}$

В) $y = \dfrac{4}{5}x + 2$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 20, sinα = 0,545, а S = 70,909.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·70,909/(20·0,545) = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≤ 36

Решение

Из неравенства x² <= 36 получаем границы x = ±6. Верное решение: [-6;6]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 7 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,4 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 7 см = 0,07 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 11/15, AB = 75. Найдите BC.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 75 · $\frac{11}{15}$ = 55.

Ответ: 55.

Ответ: 55

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 38°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 38°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 38° + 41° = 79°.

Ответ: 79.

Ответ: 79

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 45, а две его стороны равны 5 и 15. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.

Решение

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 45 / 5 = 9, h₂ = 45 / 15 = 3.

Требуемая высота равна 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 6.

S = 7 · 6 / 2 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².

2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.

3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y=12,\\9x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(5x^2+y)+(9x^2-y)=12+2\Rightarrow 14x^2=14$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=12-5x^2=12-5=7$.

Ответ: $(-1;\,7);\ (1;\,7)$.

Правильный ответ: (-1;7);(1;7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 70 кг получается раствор с концентрацией 73%:

40·x + 30·y = 70·0,73 = 51,1 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 72%:

(x + y)/2 = 0,72 ⟹ x + y = 1,44 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 1,44 − x. Подставляем в (1):

40·x + 30·(1,44 − x) = 51,1

40x + 43,2 − 30x = 51,1

10x = 7,9 ⟹ x = 0,79.

y = 1,44 − 0,79 = 0,65.

Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 30·0,65 = 19,5 кг.

Ответ: 19,5.

Правильный ответ: 19,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 10\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 10.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 10.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 10. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 10.

Проверка: при m = 10 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 5,25, а AB = 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.

Шаг 1. Из условия задачи D = 5,25, AB = 9.

Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².

AC² − 5,25·AC − 9² = 0.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 5,25·AC − 81 = 0.

Положительный корень: AC = 12.

Проверка: D = (12² − 9²)/12 = $\frac{63}{12}$ = 5,25. ✓

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.

Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 1.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 1.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 1 + 1 = 2.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 7 · 2 = 14.

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.