Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.
Ответ: 225
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 185/65 R15?
Решение
В маркировке 185/65 R15 ширина шины равна 185 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 185 · 65 / 100 = 120.25 мм. Ответ: 120.25.
Ответ: 120.25
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/50 R16?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 215/50 R16. Ответ: 6.8.
Ответ: 6.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.
Ответ: 614.6
5Задание 51 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/55 R15? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 205/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.3.
Ответ: 1.3
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,5 + 0,01 - 0,04$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,5 + 0,01 - 0,04\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,5) + 0,01 = 0,51\).
Шаг 2: \((0,51) - 0,04 = 0,47\).
Ответ: \(0,47\).
Ответ: 0,47
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из чисел расположено между числами -3,8 и -2?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-0,85
2
\(-\frac{9}{25}\)
3
1,2
4
-2,92
Решение
Сравним числа -3,8 и -2. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-2,92) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$3^{-1} \cdot (3^3)^2$$
Решение
Вычислим выражение: 3^(-1) · (3^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^3)^2 = 3^6.
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + 6y = 27 \\ 8x + 2y = -14 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
x + 6y = 27
8x + 2y = -14
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на 1.
Получим:
\((x + 6y = 27) \cdot 8\): 8x + 48y = 216
\((8x + 2y = -14) \cdot 1\): 8x + 2y = -14
Вычтем второе уравнение из первого:
46y = 230
y = 230 / 46 = 5
Подставим y = 5 в первое уравнение:
x + 6y = 27
Получаем x = -3.
Ответ: (-3;5)
Ответ: -3;5
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 50 билетов, Оскар не выучил 13 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 37 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{37}{50}\) = 0,74.
Ответ: 0,74.
Ответ: 0,74
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -85 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -85 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-85) + 32 = -121.
Ответ: -121.
Ответ: -121
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-8x - 6 < -3x - 5
1
(-0,2;+∞)
2
(-∞;0,2)
3
(-∞;2,2)
4
(-∞;0)
Решение
Решим неравенство: -8x - 6 < -3x - 5.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x > 1.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -5: x > -0,2.
Значит, x больше -0,2.
Этому соответствует промежуток (-0,2;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Решение
Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 21, d = -3, n = 5.
Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·21 + 4·(-3))/2 = 75.
Ответ: 75.
Ответ: 75
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 8 · 27 = 216/2 = 108.
Ответ: 108.
Ответ: 108
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 16, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:
Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 26 кг получается раствор с концентрацией 55%:
10·x + 16·y = 26·0,55 = 14,3 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 61%:
(x + y)/2 = 0,61 ⟹ x + y = 1,22 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 1,22 − x. Подставляем в (1):
10·x + 16·(1,22 − x) = 14,3
10x + 19,52 − 16x = 14,3
−6x = −5,22 ⟹ x = 0,87.
Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 10·0,87 = 8,7 кг.
Ответ: 8,7.
Правильный ответ: 8,7
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+1,\ x\ne -2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2; 2; 2,5 \).
Ответ: \( -2; 2; 2,5 \).
Правильный ответ: -2; 2; 2,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 12, AC = 13.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
12² + r² = (13 − r)².
144 + r² = 169 − 26r + r².
26r = 169 − 144 = 25.
r = \(\frac{25}{26}\) = 0.961538.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{25}{13}\) = 1,9231.
Ответ: 1,9231.
Правильный ответ: 1,9231
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 33 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 20² = 400, AD·BC = 33·11 = 363.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
