Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
яблони
теплица
сарай
жилой дом
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
Ответ: 9
3Задание 31 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
Ответ: 6
4Задание 41 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
Ответ: 10
5Задание 51 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
18 000 руб.
13 896 руб.
1,6 куб. м/ч
4,7 руб./куб. м
Электр. отопление
15 000 руб.
9 000 руб.
4,7 кВт
4,4 руб./(кВт·ч)
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
Ответ: 600
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,6 : 0,125 \cdot 75$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,6 : 0,125 \cdot 75\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,6) : 0,125 = 4,8\).
Шаг 2: \((4,8) \cdot 75 = 360\).
Ответ: \(360\).
Ответ: 360
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
7 - a > 0
2
\(\frac{1}{a} < 0\)
3
\(\frac{1}{a} > 0\)
4
a > 8
Решение
По чертежу видно, что 7 < a < 8.
Проверим варианты ответа:
1) 7 - a > 0 ⇔ a < 7 — неверно.
2) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — верно.
4) a > 8 ⇔ a > 8 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{11})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (4√11)².
Используем свойство степени произведения: (4√11)² = 4² · (√11)².
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2.
Получим:
\((2x + 3y = -34) \cdot 3\): 6x + 9y = -102
\((3x - 2y = -12) \cdot 2\): 6x - 4y = -24
Вычтем второе уравнение из первого:
13y = -78
y = -78 / 13 = -6
Подставим y = -6 в первое уравнение:
2x + 3y = -34
Получаем x = -8.
Ответ: (-8;-6)
Ответ: -8;-6
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(A \cap B\).
Решение
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,35.
Ответ: 0,35
Ответ: 0,35
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = \dfrac{2}{3}x - 5\)
Б) \(y = -\dfrac{6}{x}\)
В) \(y = -3x^2 + 9x - 4\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12Расчёты по формулам1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 8 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(8 − 5) = 183.
Ответ: 183.
Ответ: 183
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-5x - 6 ≥ -8x + 9
1
[5;+∞)
2
[0;+∞)
3
(-∞;-5]
4
[1;+∞)
Решение
Решим неравенство: -5x - 6 >= -8x + 9.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 3x >= 15.
Делим обе части на 3: x >= 5.
Значит, x больше или равно 5.
Этому соответствует промежуток [5;+∞).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 3, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 3·3^4 = 243 мг.
Ответ: 243.
Ответ: 243
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 12 · 12 = 144/2 = 72.
Ответ: 72.
Ответ: 72
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 5√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.
Значит, a = 2r√3 = 2 · 5√3 · √3 = 30.
Ответ: 30.
Ответ: 30
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Площадь параллелограмма равна 28, а две его стороны равны 14 и 7. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
Решение
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.
h₁ = 28 / 14 = 2, h₂ = 28 / 7 = 4.
Требуемая высота равна 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 2 и 8.
m = (2 + 8) / 2 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
2
Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
3
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно: S = \(\frac{1}{2}\) ab sin γ, а sin γ ≤ 1, значит S ≤ ab/2 < ab.
2) Неверно: средняя линия равна полусумме оснований.
Идея: числитель \(-11<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-2)^2-3<0\).
Шаг 2. \((x-2)^2<3\).
Шаг 3. \(-\sqrt{3}<x-2<\sqrt{3}\).
Шаг 4. Прибавляем 2: \(2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3}\).
Ответ: \((2-\sqrt{3};\; 2+\sqrt{3})\).
Правильный ответ: (2-√3;2+√3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.
Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 11) км/ч.
Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 4 км.
Длина круга = x + 4 км.
Шаг 3. Второй пробежал круг 20 мин назад, то есть за (1 − \(\frac{20}{60}\)) = 0,6666666667 ч.
Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| - 2\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x - 2.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x - 2.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -2. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -2.
Проверка: при m = -2 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: -2.
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 16, а AB = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.
Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):
∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.
Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 86° и 4°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 2. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 86° + 4° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 14 и 2.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 14 и (b-a)/2 = 2 (или наоборот).
