Загрузка заданий...

Вариант 2579 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{8} : 6,25 + 0,009$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{8} : 6,25 + 0,009$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{8}) : 6,25 = 0,06$.

Шаг 2: $(0,06) + 0,009 = 0,069$.

Получили результат $0,069$.

Ответ: $0,069$.

Ответ: 0,069

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,5

$\frac{\sqrt{15}}{2}$

$\frac{10}{3}$

$\frac{25}{6}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -0,5 ≈ -0,5

2) $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ≈ 1,9365

3) $\frac{10}{3}$ ≈ 3,3333

4) $\frac{25}{6}$ ≈ 4,1667

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{7})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (2√7)².

Используем свойство степени произведения: (2√7)² = 2² · (√7)².

Получаем 4 · 7 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 36 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 36 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 0, c = -36.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 0² - 4·1·-36 = 144.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (0 - √144) / 2 = -6

x₂ = (0 + √144) / 2 = 6

Ответ: -6;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 30 билетов, Сеня не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 30.

Благоприятных исходов: 24 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{24}{30}$ = 0,8.

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{9}{x}$

Б) $y = -\dfrac{1}{5}x - 5$

В) $y = -x^2 + 7x - 7$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 4, sinα = 0,333, а S = 4,667.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·4,667/(4·0,333) = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≤ 36

Решение

Из неравенства x² <= 36 получаем границы x = ±6. Верное решение: [-6;6]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 15, d = 2, n = 13.

Сначала найдём последний ряд: a13 = 15 + (13 - 1)·2 = 39.

Сумма первых 13 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 13·(15 + 39)/2 = 351.

Ответ: 351.

Ответ: 351

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169.

Значит, c = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 53°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.

Тогда угол ACB опирается на диаметр и равен 90°.

Следовательно, ∠ABC = 90° - 53° = 37°.

Ответ: 37.

Ответ: 37

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ прямоугольника образует угол 44° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

Каждая диагональ образует с выбранной стороной одинаковый по модулю угол.

Поэтому угол между диагоналями равен 2·44° или его дополнительному углу.

Острый угол равен 88°.

Ответ: 88.

Ответ: 88

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 7, высота равна 6.

S = 7 · 6 / 2 = 21.

Ответ: 21.

Ответ: 21

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: S = $\frac{1}{2}$ ab sin γ, а sin γ ≤ 1, значит S ≤ ab/2 < ab.

2) Неверно: средняя линия равна полусумме оснований.

3) Верно: по признаку подобия по двум углам.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $33a-27b+30$, если $\dfrac{7a-8b+7}{8a-7b+7}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $33a-27b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-8b+7 = 5(8a-7b+7)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-8b+7 = 40a-35b+35$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 33a-27b+28$, откуда $33a-27b = -28$.

Шаг 4. Вычисляем: $33a-27b+30 = -28+30 = 2$.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 13 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 208 деталей, на 8 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 13) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 208/x ч, первым — 208/(x+13) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 8 ч больше:

208/x − 208/(x+13) = 8.

Шаг 4. Умножаем на x(x+13):

208·(x+13) − 208·x = 8·x·(x+13).

2704 = 8·x² + 104·x.

8x² + 104x − 2704 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 104² + 4·8·2704 = 10816 + 86528 = 97344, √D = 312.

x = (−104 + 312) / (2·8) = 13 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 208/13 = 16 ч, первый — 208/26 = 8 ч.

16 − 8 = 8 = 8. ✓

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| + 7\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x + 7.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x + 7.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 7.

Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(6² + 8²) = √100 = 10.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 6·$\frac{8}{2}$ = 24.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 10·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 10·h/2 = 24 ⟹ h = 6·$\frac{8}{10}$ = 4,8.

Ответ: 4,8.

Правильный ответ: 4,8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов A и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠D = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠D/2 = 90°.

Значит в △K (треугольник при пересечении биссектрис) угол при K равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до K равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем K — середина BC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 124° − 90° = 34°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 116° − 90° = 26°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 34° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 26° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 26° = 64°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 64° − 34° = 30°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(30°) = 6 / sin(30°) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.