Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
жилой дом
яблони
теплица
гараж
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.
Ответ: 7352
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.
Ответ: 5
3Задание 31 балл
Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.
Ответ: 36
4Задание 41 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?
Решение
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
25 000 руб.
17 552 руб.
1,3 куб. м/ч
5,2 руб./куб. м
Электр. отопление
21 000 руб.
15 000 руб.
5,2 кВт
4,1 руб./(кВт·ч)
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.
Ответ: 450
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,2 + 0,45$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,2 + 0,45\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,2) + 0,45 = 0,65\).
Ответ: \(0,65\).
Ответ: 0,65
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от \(-\frac{21}{10}\) до \(\sqrt{8}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
4,95
2
\(-\frac{19}{4}\)
3
\(-\frac{3}{1}\)
4
1,16
Решение
Сравним числа \(-\frac{21}{10}\) и \(\sqrt{8}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (1,16) лежит между этими числами.
Ответ: 4
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(3\sqrt{5})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (3√5)².
Используем свойство степени произведения: (3√5)² = 3² · (√5)².
Получаем 9 · 5 = 45.
Ответ: 45.
Ответ: 45
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите уравнение: $$\frac{2}{x + 5} = -2$$
Решение
Решим уравнение: 2/(x + 5) = -2
Область допустимых значений: x != -5.
Умножим обе части уравнения на x + 5:
2 = -2(x + 5)
Раскроем скобки:
2 = -2x - 10
Перенесём число в левую часть:
12 = -2x
x = 12 / -2
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -5, условие выполняется.
Ответ: -6
Ответ: -6
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cap B\).
Решение
Всего исходов: 48. Вероятность события \(\overline{A} \cap B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=12/48=0,25\).
Ответ: 0,25
Ответ: 0,25
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = -x + 4\)
Б) \(y = 3x + 3\)
В) \(y = -3x - 4\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 20 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Подставим C = 0,0002 и U = 20 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·20² / 2 = 0,04.
Ответ: 0,04.
Ответ: 0,04
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 0,2 < 2,2 \\ x + 1,1 < 3,4 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;2). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 320, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 12° и AK = CK.
Решение
Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.
Но ∠ACK = ∠C = 12°.
Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·12° = 24°.
Тогда ∠B = 180° - 24° - 12° = 144°.
Ответ: 144.
Ответ: 144
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
Значит, a = 3R / √3 = 3 · 8√3 / √3 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 34°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 34° = 68°.
Ответ: 68.
Ответ: 68
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 5 и 9.
m = (5 + 9) / 2 = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
2
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
3
Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.
Шаг 5. Произведение \(\le0\) когда \(x+8\le0\Rightarrow x\le-8\), или \(x=8\).
Ответ: \((-\infty;\;-8]\cup\{8\}\).
Правильный ответ: (-∞;-8]∪{8}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 396 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 396 кг свежих фруктов:
396 · 14/100 = 55,44 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 55,44.
x = 55,44 / 0,77 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2-2x+2,& x\ge -3,\\-x-2,& x<-3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: [-1;1]∪{3}.
Ответ: [-1;1]∪{3}.
Правильный ответ: [-1;1]∪{3}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 28, а сторона AC в 1,4 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 1,4·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 1,4 = 28 / 1,4 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD и равны по условию.
По обратной теореме о вписанном угле ABCD — вписанный четырёхугольник.
Шаг 2. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 24 + 9... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 7, AB = 24, CD = 25, BC = 9.
