Загрузка заданий...
Вариант 5 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 26.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | жилой дом | баня | гараж | теплица |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.
Получаем последовательность: 7425.
Ответ: 7425
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.
Ответ: 7.
Ответ: 7
3
Задание 3
1 балл
Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.
Решение
По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.
Ответ: 36.
Ответ: 36
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.
Решение
Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.
Ответ: 29.
Ответ: 29
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 20 000 руб. | 15 370 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,9 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 14 000 руб. | 4,9 кВт | 4,2 руб./(кВт·ч) |
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.
Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.
Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.
Ответ: 500.
Ответ: 500
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{1}) \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\).
Шаг 2: \((\frac{2}{5}) + \frac{1}{2} = \frac{9}{10}\).
Получили дробь \(\frac{9}{10}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,9\).
Ответ: \(0,9\).
Ответ: 0,9
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами 3 и \(\frac{239}{50}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа 3 и \(\frac{239}{50}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (3,625) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{180} + \sqrt{80})\sqrt{5}$$
Решение
Вычислим выражение: (√180 + √80)·√5.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √180 = 6√5, √80 = 4√5.
Тогда получаем (6√5 + 4√5)·√5 = 10√5·√5.
Так как √5·√5 = 5, имеем 10·5 = 50.
Ответ: 50.
Ответ: 50
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{4}{x + 7} = 4$$
Решение
Решим уравнение: 4/(x + 7) = 4
Область допустимых значений: x != -7.
Умножим обе части уравнения на x + 7:
4 = 4(x + 7)
Раскроем скобки:
4 = 4x + 28
Перенесём число в левую часть:
-24 = 4x
x = -24 / 4
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -7, условие выполняется.
Ответ: -6
Ответ: -6
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 195 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 200.
Благоприятных исходов: 5 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 5/200 = 0,025.
Ответ: 0,025.
Ответ: 0,025
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 992,75 Вт, а сила тока равна 9,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 992,75/(9,5²) = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 3x + 1,8 > 7,8 \\ 2x − 3,6 < 10,4 \end{cases}$$
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (2;7). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 28 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 28, d = -3.
Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 10.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 10·(28 + 1)/2 = 145.
Ответ: 145.
Ответ: 145
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 28°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
BH — высота, значит BH ⟂ AC.
Угол между AB и AC равен 28°.
Тогда угол между AB и BH равен 90° - 28° = 62°.
Ответ: 62.
Ответ: 62
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 24√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 24√2 = 48√2.
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 48√2 · √2 = 96.
Ответ: 96.
Ответ: 96
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов параллелограмма равен 96°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы параллелограмма supplementary.
Искомый угол равен 180° - 96° = 84°.
Ответ: 84.
Ответ: 84
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 4 и 6, высота равна 4.
S = (4 + 6) / 2 · 4 = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.
2) Неверно.
3) Неверно.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-6)^2<\sqrt{10}(x-6)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-6)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-6)^2-\sqrt{10}(x-6)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-6)\bigl[(x-6)-\sqrt{10}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=6\) и \(x=6+\sqrt{10}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((6;\; 6+\sqrt{10})\).
Правильный ответ: (6;6+√10)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 72 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 10 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время первого автомобиля равно времени второго, разделить путь на половины.
Шаг 1. Пусть скорость первого автомобиля равна x км/ч, длина пути — S км.
Шаг 2. Время первого: S/x. Время второго: S/(2·72) + S/(2·(x+10)).
Шаг 3. Прибыли одновременно, значит: S/x = S/(2·72) + S/(2·(x+10)).
Шаг 4. Делим на S и умножаем на 2·72·x·(x+10):
2·72·(x+10) = x·(x+10) + 72·x.
Шаг 5. Раскрываем и упрощаем: x² + -62x − 1440 = 0.
Шаг 6. D = -62² + 4·1440 = 9604, √D = 98.
x = (−-62 + 98) / 2 = 80 (берём положительный корень).
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=-5-\dfrac{x-2}{x^2-2x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-5-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=2 \).
У функции \( y=-5-\frac1x \) нет значений \( y=-5 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-5,5 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-5,5; -5 \).
Ответ: -5,5; -5.
Правильный ответ: -5,5; -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 1. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 24 + 1 = 25.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 25 и катетом DH = 24.
Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(25² − 24²) = √(49) = 7.
Ответ: 7.
Правильный ответ: 7
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△AOD) (общую часть):
S(△AOB) = S(△COD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 100 ⟹ a+b = 50.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·500/50 = 20.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=50 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=20:
a = 10, b = 40.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 20·\(\frac{10}{50}\) = 4.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.