Загрузка заданий...
Вариант 4 — ОГЭ по математике
Реши задания, а в конце нажми “Проверить экзамен”. Решение можно открыть у отдельного задания, если нужно разобрать ход решения.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 07.06.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.
По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.
1
Задание 1
1 балл
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Населённые пункты | Новая | Абрамово | Таловка |
|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
По описанию восстанавливаем маршруты на плане.
Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.
Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.
В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.
Следовательно, ответ: 324.
Ответ: 324
2
Задание 2
1 балл
Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?
Решение
По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.
От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.
От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.
Складываем: 32 + 24 = 56 км.
Ответ: 56.
Ответ: 56
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение
Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.
Значит, катеты равны 24 км и 32 км.
Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.
Ответ: 40.
Ответ: 40
4
Задание 4
1 балл
Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?
Решение
По прямой расстояние равно 40 км.
Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.
Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.
В минутах это 200 мин, то есть 200,0 мин.
Ответ: 200,0.
Ответ: 200,0
5
Задание 5
1 балл
| Наименование продукта | Грушёвка | Абрамово | Таловка | Новая |
|---|---|---|---|---|
| Молоко (1 л) | 47 | 54 | 58 | 51 |
| Хлеб (1 батон) | 39 | 24 | 43 | 27 |
| Сыр «Российский» (1 кг) | 258 | 244 | 251 | 255 |
| Говядина (1 кг) | 335 | 333 | 325 | 324 |
| Картофель (1 кг) | 17 | 27 | 22 | 21 |
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Решение
Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:
Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207
Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198
Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234
Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170
Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.
Ответ: 1 170.
Ответ: 1170
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{25} : \frac{2}{1} + 0,009$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{25} : \frac{2}{1} + 0,009\).
Последовательно выполняем действия (деление, сложение):
Шаг 1: \((\frac{4}{25}) : \frac{2}{1} = 0,08\).
Шаг 2: \((0,08) + 0,009 = 0,089\).
Получили результат \(0,089\).
Ответ: \(0,089\).
Ответ: 0,089
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что 2 < a < 3.
Проверим варианты ответа:
1) a - 2 < 0 ⇔ a < 2 — неверно.
2) -a > -3 ⇔ a < 3 — верно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) 3 - a < 0 ⇔ a > 3 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} + \sqrt{75})\sqrt{3}$$
Решение
Вычислим выражение: (√12 + √75)·√3.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √12 = 2√3, √75 = 5√3.
Тогда получаем (2√3 + 5√3)·√3 = 7√3·√3.
Так как √3·√3 = 3, имеем 7·3 = 21.
Ответ: 21.
Ответ: 21
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 5 + 3(-x + 6) = -8x + 63
Решение
Решим уравнение: 5 + 3(-x + 6) = -8x + 63
Раскроем скобки:
5 + 3(-x + 6) = -8x + 63
5 - 3x + 18 = -8x + 63
Приведём подобные слагаемые в левой части:
-3x + 23 = -8x + 63
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
5x = 40
Разделим обе части на 5:
x = 40 / 5
x = 8
Ответ: 8
Ответ: 8
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 1 чёрных, 6 жёлтых и 18 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 6 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{6}{25}\) = 0,24.
Ответ: 0,24.
Ответ: 0,24
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 0.3333333333333333x + 2
Б) y = -1x² + 4x - 3
В) y = 1/x
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -100 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -100 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-100) + 32 = -148.
Ответ: -148.
Ответ: -148
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
5x - 7 < 2x - 10
Решение
Решим неравенство: 5x - 7 < 2x - 10.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 3x < -3.
Делим обе части на 3: x < -1.
Значит, x меньше -1.
Этому соответствует промежуток (-∞;-1).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 9 секунд движения?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,4, d = 0,4, n = 9.
Сумма первых 9 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 102°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.\nСумма углов при основании равна 180° - 102° = 78°.\nКаждый из них равен 78° : 2 = 39°.\nОтвет: 39.
Ответ: 39
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 56°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.\nСледовательно, ∠CBD = 83°.\nЛуч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.\nПоэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 56° - 83° = -27°.\nОтвет: -27.
Ответ: -27
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Острый угол равен 78°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.\nТупой угол ромба равен 180° - 78° = 102°.\nУгол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 102° / 2 = 51°.\nОтвет: 51.
Ответ: 51
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.
Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно: смежные углы могут быть оба по 90°.
2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.
3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x}\).
Шаг 1. После замены уравнение принимает вид:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим на множители: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Обратная замена:
Если \(t=3\): \(x=\dfrac{1}{3}\).
Если \(t=-2\): \(x=-\dfrac{1}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня подходят.
Ответ: \(-\dfrac{1}{2};\quad \dfrac{1}{3}\).
Правильный ответ: -1/2;1/3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.
По течению: 15 + x. Против течения: 15 − x.
Шаг 2. Составляем уравнение:
140/(15+x) + 11 + 140/(15−x) = 32.
Шаг 3. Переносим стоянку: 140/(15+x) + 140/(15−x) = 21.
Шаг 4. Умножаем на (15+x)(15−x) = 225−x²:
140(15−x) + 140(15+x) = 21(225−x²).
Шаг 5. Левая часть: 2·140·15 = 4200. Квадратное уравнение относительно x.
Шаг 6. Решение: x = 5.
Шаг 7. Проверка: 7 + 11 + 14 = 32. ✓
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-7,25; -5; 5 \).
Ответ: \( -7,25; -5; 5 \).
Правильный ответ: -7,25; -5; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 45, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.
Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. KP/BC = AP/AB.
По условию BC в 1,8 раза меньше AB, то есть AB = 1,8·BC.
KP = AP · BC/AB = AP / 1,8 = 45 / 1,8 = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. AD = 2·AB (по условию), M — середина AD.
Значит AD/2 = AB/2 ... нет: AD = AD, AD/2 = AB.
Шаг 2. В параллелограмме AB ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном BM и соседними сторонами, два угла при основании равны.
(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)
Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ BM — биссектриса угла ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 30, AC = 100, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.
Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.
Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).
Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.
Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):
AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 30²/100 = 900/100.
Шаг 4. CD = AC − AD = 100 − 900/100 = 91.
Ответ: 91.
Правильный ответ: 91
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл: