Загрузка заданий...

Вариант 4 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 06.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Осиновка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Николаево в магазин. Из деревни Осиновка в село Николаево можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Зябликово до деревни Старая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Николаево. Есть и третий маршрут: в деревню Зябликово можно свернуть на прямую тропинку в село Николаево, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 10 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Старая	Николаево	Зябликово
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Осиновка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Зябликово, место поворота на другое шоссе — Старая, конечный пункт — Николаево.

Получаем соответствие: Осиновка — 1, Зябликово — 3, Старая — 2, Николаево — 4.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Старая, Николаево, Зябликово.

Следовательно, ответ: 243.

Ответ: 243

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Саша с дедушкой от деревни Масловка до села Захарово, если они поедут по шоссе через деревню Полянка?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Масловка до Полянка и от Полянка до Захарово.

От Масловка до Полянка: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Полянка до Захарово: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Куровка до села Вятское по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 5 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 5 км.

Это треугольник со сторонами 5–12–13, поэтому расстояние по прямой равно 13 км.

Ответ: 13.

Ответ: 13

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин, то есть 200,0 мин.

Ответ: 200,0.

Ответ: 200,0

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Дивная	Ольгино	Калиновка	Ровное
Молоко (1 л)	57	41	49	43
Хлеб (1 батон)	37	35	26	22
Сыр «Российский» (1 кг)	273	274	279	270
Говядина (1 кг)	316	322	317	328
Картофель (1 кг)	17	26	23	20

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Дивная, селе Ольгино, деревне Калиновка и селе Ровное. Ваня с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Дивная: 2·57=114 + 3·37=111 + 2·316=632 + 4·17=68 + 1·273=273 = 1 198

Ольгино: 2·41=82 + 3·35=105 + 2·322=644 + 4·26=104 + 1·274=274 = 1 209

Калиновка: 2·49=98 + 3·26=78 + 2·317=634 + 4·23=92 + 1·279=279 = 1 181

Ровное: 2·43=86 + 3·22=66 + 2·328=656 + 4·20=80 + 1·270=270 = 1 158

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Ровное": 1 158 руб.

Ответ: 1 158.

Ответ: 1158

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} - 0,02 - \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} - 0,02 - \frac{1}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) - 0,02 = 0,98$.

Шаг 2: $(0,98) - \frac{1}{4} = 0,73$.

Получили результат $0,73$.

Ответ: $0,73$.

Ответ: 0,73

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{-13}{4}$, $\frac{-8}{3}$, -1,91, $\sqrt{5}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-13}{4}$

$\frac{-8}{3}$

-1,91

$\sqrt{5}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -4 и -3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-13}{4}$ ≈ -3,25

2) $\frac{-8}{3}$ ≈ -2,6667

3) -1,91 ≈ -1,91

4) $\sqrt{5}$ ≈ 2,2361

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(7\sqrt{3})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (7√3)².

Используем свойство степени произведения: (7√3)² = 7² · (√3)².

Получаем 49 · 3 = 147.

Ответ: 147.

Ответ: 147

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{8}{x - 3} = 2$$

Решение

Решим уравнение: 8/(x - 3) = 2

Область допустимых значений: x != 3.

Умножим обе части уравнения на x - 3:

8 = 2(x - 3)

Раскроем скобки:

8 = 2x - 6

Перенесём число в левую часть:

14 = 2x

x = 14 / 2

x = 7

Проверка ОДЗ: x = 7, x != 3, условие выполняется.

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 25 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 100.

Благоприятных исходов: 75 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 75/100 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0002 и U = 12 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0002·12² / 2 = 0,0144.

Ответ: 0,0144.

Ответ: 0,0144

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 0,6 − 4x > -10,2 \\ x + 0,4 < 2,8 \end{cases}$$

(-∞;0,4] ∪ [2,4;+∞)

(-∞;2,4)

нет решений

[0,4;2,4]

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;2,4). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 56 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 640 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 56 минут пройдёт 7 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 640·($\frac{1}{2}$)^7 = 5 мг.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, AC = 18. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{18}{3}$ = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 4√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

Значит, a = 3R / √3 = 3 · 4√3 / √3 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 60, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Сторона ромба равна 60 / 4 = 15.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 15² · sin 30° = 15² · $\frac{1}{2}$ = 112,5.

Ответ: 112,5.

Ответ: 112,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2+y=4,\\4x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения, чтобы сократить $y$.

Шаг 1. Складываем:

$(2x^2+y)+(4x^2-y)=4+2\Rightarrow 6x^2=6$.

Шаг 2. Отсюда $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$ из первого уравнения:

$y=4-2x^2=4-2=2$.

Ответ: $(-1;\,2);\ (1;\,2)$.

Правильный ответ: (-1;2);(1;2)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть первый рабочий делает x дет/ч, тогда второй — (x − 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: первым — 216/x ч, вторым — 216/(x−9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/(x−9) − 216/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−9):

216·x − 216·(x−9) = 4·x·(x−9).

1944 = 4·x² − 36·x.

4x² − 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (36 + 180) / (2·4) = 27 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первый — 216/27 = 8 ч, второй — 216/18 = 12 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+2,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+2,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-3,25; -3; 3 $.

Ответ: $ -3,25; -3; 3 $.

Правильный ответ: -3,25; -3; 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 5, AC = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.

Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).

Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).

AB² + r² = AO² = (AC − r)².

5² + r² = (13 − r)².

25 + r² = 169 − 26r + r².

26r = 169 − 25 = 144.

r = 144/26 = 5.53846.

Шаг 3. D = 2r = 144/13 = 11,0769.

Ответ: 11,0769.

Правильный ответ: 11,0769

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. AD = 2·AB (по условию), M — середина AD.

Значит AD/2 = AB/2 ... нет: AD = AD, AD/2 = AB.

Шаг 2. В параллелограмме AB ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном BM и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ BM — биссектриса угла ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 11, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 126° и 99°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 126° − 90° = 36°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 99° − 90° = 9°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 36° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 9° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 9° = 81°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 81° − 36° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 11 / sin(45°) = 11√2.

Ответ: 11√2.

Правильный ответ: 11√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.