Загрузка заданий...

Вариант 4 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 26.07.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 8, спальня — 4, кухня — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 6847.

Ответ: 6847

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 20 см на 20 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,04 = 6,16 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.

Нужно элементов: 6,16 / 0,04 = 154.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 31 упаковка.

Ответ: 31.

Ответ: 31

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кладовой. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 24 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м.

Значит, площадь равна 24 · 0,64 = 15,36 кв. м.

Ответ: 15,36.

Ответ: 15,36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой, не превосходящую 85 см по высоте.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель К: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.

Наименьшая стоимость у модели К: 28 800 руб.

Ответ: 28 800.

Ответ: 28800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$9 - 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $9 - 0,4$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(9) - 0,4 = 8,6$.

Ответ: $8,6$.

Ответ: 8,6

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a < -6

$\frac{1}{a} > 0$

-a < 6

a + 5 > 0

Решение

По чертежу видно, что -6 < a < -5.

Проверим варианты ответа:

1) a < -6 ⇔ a < -6 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) -a < 6 ⇔ a > -6 — верно.

4) a + 5 > 0 ⇔ a > -5 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{45} + \sqrt{20})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√45 + √20)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √45 = 3√5, √20 = 2√5.

Тогда получаем (3√5 + 2√5)·√5 = 5√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 5·5 = 25.

Ответ: 25.

Ответ: 25

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 4x - 45 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 4x - 45 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = -45.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 4² - 4·1·-45 = 196.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-4 - √196) / 2 = -9

x₂ = (-4 + √196) / 2 = 5

Ответ: -9;5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) y = -0.75x - 1

Б) y = -12/x

В) y = -1x² + 5

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1500 кг обладает кинетической энергией 147 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 147·1000 = 147 000 Дж.

v = √(2·147 000/1500) = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-4x + 8 ≤ -9x + 4

(-∞;0]

[2,4;+∞)

[-0,8;+∞)

(-∞;-0,8]

Решение

Решим неравенство: -4x + 8 <= -9x + 4.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x <= -4.

Делим обе части на 5: x <= -0,8.

Значит, x меньше или равно -0,8.

Этому соответствует промежуток (-∞;-0,8].

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 630, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 7-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 8-го уже меньше.

Ответ: 8.

Ответ: 8

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 16, BC = 25, sin ∠ABC = 3/10. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 16 · 25 · $\frac{3}{10}$ = 1200/20 = 60.

Ответ: 60.

Ответ: 60

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 14√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 14√2 = 28√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 28√2 · √2 = 56.

Ответ: 56.

Ответ: 56

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 146°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Решение

Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.

Следовательно, искомый угол равен 146° / 2 = 73°.

Ответ: 73.

Ответ: 73

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 12 и 2.

S = 12 · 2 / 2 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-5)^2<\sqrt{7}(x-5)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-5)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-5)^2-\sqrt{7}(x-5)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-5)\bigl[(x-5)-\sqrt{7}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=5$ и $x=5+\sqrt{7}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(5;\; 5+\sqrt{7})$.

Правильный ответ: (5;5+√7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 16 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 60 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.

Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.

Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−16)) + 1/(2·96).

Шаг 3. Умножаем на 2·(x−16)·x·96 и упрощаем.

С учётом условия получаем x = 64.

Ответ: 64.

Правильный ответ: 64

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+1,\ x\ne -2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2; 2; 2,5 $.

Ответ: $ -2; 2; 2,5 $.

Правильный ответ: -2; 2; 2,5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 35, а сторона AC в 1,4 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 1,4·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 1,4 = 35 / 1,4 = 25.

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.

Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):

∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.

Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 12 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 5, AB = 12, CD = 13, BC = 4.

Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 12 = 16.

S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 16)/2 · 5 = 78.

Ответ: 78.

Правильный ответ: 78

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.