Что такое неполное частное и остаток, почему остаток всегда меньше делителя и как проверить такое деление.
Главная идея: Разделить с остатком — значит разложить предметы по равным кучкам и посмотреть, что не поместилось. Сколько получилось полных кучек — это неполное частное, что осталось в стороне — остаток. Остаток обязан быть меньше делителя: иначе из него собралась бы ещё одна полная кучка.
Семнадцать конфет раздали пятерым поровну. Каждому досталось
по три, и две остались лишними. Записывают это так:
$17 : 5 = 3$ (остаток 2)
17 — делимое, то, что делим;
5 — делитель, на сколько частей делим;
3 — неполное частное, сколько досталось каждому;
2 — остаток, что не поместилось.
Если остаток равен нулю, деление называют
нацело: $20:5=4$ без остатка. Тогда говорят, что 20 делится на 5.
Раздел 2
Почему остаток меньше делителя
Допустим, при делении на 5 в остатке получилось 7.
Но из семи конфет соберётся ещё одна кучка по пять, и две останутся.
Значит кучек было на одну больше, а остаток на самом деле 2.
Поэтому правило звучит жёстко: остаток всегда
меньше делителя. При делении на 5 остаток бывает только 0, 1, 2, 3 или 4 —
ровно пять возможных значений.
Остаток, равный делителю или больше него, — верный
признак ошибки: деление доведено не до конца.
Раздел 3
Проверка
Проверяют деление с остатком одной формулой: неполное частное
умножают на делитель и прибавляют остаток. Должно получиться делимое.
$a = b \cdot q + r$
Для нашего примера: $5 \cdot 3 + 2 = 17$. Сошлось.
Эта же формула помогает восстановить делимое, когда его
не дали: известны делитель, частное и остаток — значит известно и само число.
Попробуйте сами
Поиграйте с долями
Разложите конфеты поровну. Синие кучки — полные,
жёлтая — то, что не влезло. Обратите внимание, каким бывает остаток.
17
5
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Оставляют остаток, равный делителю или больше него, — деление не доведено до конца.
Путают неполное частное и остаток: частное — это число кучек.
Проверяя, забывают прибавить остаток: $b \cdot q$ без $r$ даёт не то число.
Считают, что при делении меньшего на большее ответа нет. Частное будет нулём, а остатком — само делимое.
Коротко
Шпаргалка
$a = b \cdot q + r$ — делимое равно делителю на частное плюс остаток.
Остаток всегда меньше делителя.
При делении на $b$ возможны остатки от 0 до $b-1$.
Остаток ноль — деление нацело.
Курс математики 5 класса
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.