Десятичная система счисления. Ряд натуральных чисел
Почему в записи числа важно не только какие цифры, но и где они стоят, что такое разряды и чем римские числа отличаются от наших.
Главная идея: Цифр всего десять, а чисел бесконечно много. Так выходит потому, что значение цифры зависит от места, на котором она стоит. В числе 2222 все четыре двойки разные: левая означает две тысячи, правая — просто два. Каждый разряд слева в десять раз больше соседнего справа — отсюда и название «десятичная».
Запишем 25 и 52. Цифры одни и те же, а числа разные,
и отличаются больше чем вдвое. Всё дело в том, на каком месте стоит
каждая цифра.
Такая запись называется позиционной: значение
цифры зависит от её позиции, то есть от места. Само место называют
разрядом.
Крайний справа разряд — единицы.
Следующий влево — десятки, он в 10 раз больше.
Дальше сотни, ещё в 10 раз больше. И так без конца.
Разряды объединяют по три: единицы, тысячи,
миллионы. Это классы, и поэтому большие числа принято писать
с пробелами: 1 250 000 читается легче, чем 1250000.
Раздел 2
Зачем нужен ноль
В числе 407 нет ни одного десятка. Но выбросить ноль
нельзя: получится 47 — совсем другое число. Ноль держит место
пустого разряда, и без него позиционная запись рассыпалась бы.
Ноль — единственное число, которое не относится
к натуральным. Натуральные — это те, которыми считают предметы:
1, 2, 3 и дальше. «Ноль яблок» никто считать не начинает, поэтому ноль
стоит особняком, хотя в записи чисел незаменим.
Натуральный ряд начинается с единицы и не кончается
никогда: какое бы число ни назвали, к нему всегда можно прибавить один.
Раздел 3
Римские числа — пример другой системы
У римлян значение знака от места не зависело:
X — это всегда десять, где бы она ни стояла. Такая система называется
непозиционной.
I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000.
Меньший знак после большего — прибавляем: VI = 6, XII = 12.
Меньший знак перед большим — вычитаем: IV = 4, IX = 9, XL = 40.
Отсюда частая ошибка: IX читают как 11, складывая
всё подряд. Единица стоит перед десяткой, значит её вычитают: 9.
Попробуйте записать римскими знаками 3888 — выйдет
MMMDCCCLXXXVIII. Считать в такой системе неудобно, а умножать почти
невозможно: наша десятичная запись победила не случайно.
Попробуйте сами
Поиграйте с долями
Наберите любое число — и посмотрите, сколько
«весит» каждая его цифра.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Путают цифру и число: цифр всего десять, а чисел бесконечно много.
Считают разряды слева направо. Считать надо справа: единицы, десятки, сотни.
Выбрасывают ноль из середины числа — цифры съезжают, и число меняется.
В римской записи складывают все знаки подряд: IX читают как 11 вместо 9.
Относят ноль к натуральным числам. Натуральный ряд начинается с единицы.
Коротко
Шпаргалка
Значение цифры зависит от места — это и есть позиционная запись.
Разряды справа налево: единицы, десятки, сотни, тысячи и дальше.
Каждый разряд слева в 10 раз больше соседнего справа.
Ноль держит место пустого разряда, но сам к натуральным числам не относится.
У римлян значение знака от места не зависит: меньший перед большим — вычитаем.
Курс математики 5 класса
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.