Что такое дробь, что означают её числитель и знаменатель, чем правильная дробь отличается от неправильной — и почему неправильная дробь ничуть не хуже правильной.
Главная идея: Дробь — это не одно число, а указание, что сделать: разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Знаменатель говорит, на сколько частей делим, числитель — сколько частей берём. Если помнить это, всё остальное в теме выводится само.
Одну пиццу на четверых поровну не разделишь целыми
кусками — придётся резать. Разрезали на 4 равные части, взяли одну:
получилась одна четвёртая, записывается $\dfrac{1}{4}$.
Внизу пишут, на сколько равных частей разделили
целое, — это знаменатель. Наверху — сколько частей взяли,
это числитель.
Слово «знаменатель» — от «знаменовать», то есть
называть: он называет, какие именно части получились —
четверти, пятые, десятые. А числитель их просто считает.
Важное условие: части обязаны быть равными.
Если разрезать пиццу на четыре куска как попало, четвертью ни один
из них не будет.
Раздел 2
Правильная и неправильная
Сравним числитель со знаменателем — то есть
«сколько взяли» с «на сколько делили».
Числитель меньше знаменателя — дробь правильная.
Взяли меньше, чем целое: $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{1}{2}$,
$\dfrac{7}{10}$. Такая дробь всегда меньше единицы.
Числитель больше знаменателя или равен ему — дробь
неправильная: $\dfrac{5}{4}$, $\dfrac{4}{4}$,
$\dfrac{9}{2}$. Такая дробь больше единицы или равна ей.
Название сбивает с толку: «неправильная» звучит
как ошибка. На самом деле в ней нет ничего неверного — это просто
дробь, в которой набралось больше одного целого. Пять четвертинок
пиццы — это целая пицца и ещё кусок, и записать это дробью
$\dfrac{5}{4}$ совершенно правильно.
Раздел 3
Дроби на числовой прямой
Отрезок от 0 до 1 делим на столько равных частей,
сколько сказано в знаменателе, и отсчитываем столько, сколько
в числителе. Так у каждой дроби появляется своё место.
Отсюда сразу видно главное различие:
правильная дробь стоит левее единицы, а неправильная —
правее или ровно на ней. Проверять это можно, вообще не считая.
Попробуйте сами
Поиграйте с долями
Двигайте ползунки: нижний делит целое на части,
верхний закрашивает их. Смотрите, что при этом происходит с дробью.
3
4
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Пишут числитель и знаменатель наоборот. Внизу всегда то, на сколько делили.
Считают части, забыв проверить, что они равные. Неравные куски дробью не описываются.
Думают, что «неправильная» дробь — это ошибка. Она просто больше целого.
Забывают, что дробь вида $\dfrac{6}{6}$ равна единице, и ищут её где-то между нулём и единицей.
Коротко
Шпаргалка
Знаменатель — на сколько частей делим, числитель — сколько берём.
Части обязаны быть равными.
Числитель меньше знаменателя — правильная, дробь меньше единицы.
Числитель больше знаменателя или равен ему — неправильная, дробь не меньше единицы.
На прямой правильные дроби лежат левее единицы, неправильные — правее или на ней.
Курс математики 5 класса
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.