Математика · 5 класс · Наглядная геометрия: тела и объём
Многогранники. Модели пространственных тел
Чем пространственное тело отличается от плоской фигуры, что такое грани, рёбра и вершины и почему шар с цилиндром — не многогранники.
Главная идея: Плоская фигура целиком помещается на листе, тело — нет: у него есть третье измерение. Если поверхность тела собрана из многоугольников, тело называют многогранником: куб, коробка, пирамида. Если поверхность кривая — это тело вращения: шар, цилиндр, конус.
В школе на тему отводится
2 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а закрепить помогает тренажёр.
Раздел 1
Плоское и объёмное
Квадрат нарисован на листе, у него есть длина и ширина.
У куба к ним добавляется высота — на листе его можно только изобразить,
а взять в руки получится лишь настоящий кубик.
У плоской фигуры два измерения, у тела — три.
У плоской фигуры есть площадь, у тела — ещё и объём.
На чертеже невидимые рёбра принято рисовать
пунктиром. Именно поэтому куб на бумаге узнаётся сразу, хотя
настоящих граней там нет — есть только линии.
Раздел 2
Грани, рёбра, вершины
Поверхность многогранника состоит из многоугольников,
и у каждой части есть название.
Грань — сам многоугольник, кусочек поверхности.
Ребро — отрезок, по которому сходятся две грани.
Вершина — точка, где сходятся рёбра.
У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Проверить
легко на настоящей коробке: шесть картонок, двенадцать сгибов, восемь углов.
Многогранники делятся на два больших семейства.
У призмы два одинаковых основания и боковые грани между ними;
у пирамиды одно основание и общая вершина наверху. Название даёт
основание: треугольная призма, четырёхугольная пирамида.
Раздел 3
Тела вращения
Шар, цилиндр и конус устроены иначе: их поверхность
кривая, многоугольников в ней нет. Поэтому многогранниками они
не считаются.
Цилиндр — два круга-основания и кривая боковая поверхность.
Конус — круг-основание и одна вершина.
Шар — все точки поверхности одинаково удалены от центра.
Называются они телами вращения, потому что
получаются вращением плоской фигуры: прямоугольник даёт цилиндр,
треугольник — конус, полукруг — шар.
Не путайте круг и шар, квадрат и куб: первое в каждой
паре — плоская фигура, второе — тело. «Круглый мяч» — это шар, а круг —
это то, что от мяча остаётся на бумаге, если его обвести.
Попробуйте сами
Разберитесь руками
Выбирайте тело и следите за счётчиками. У одних
поверхность собрана из многоугольников, у других она кривая.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Путают плоские фигуры и тела: круг и шар, квадрат и куб, треугольник и пирамиду.
Называют гранью ребро или вершину.
Считают цилиндр и конус многогранниками — их поверхность кривая.
Забывают невидимые рёбра на чертеже и получают вместо тела плоскую фигуру.
Считают рёбра только у видимых граней, а их у куба двенадцать.
Коротко
Шпаргалка
У тела три измерения; у плоской фигуры — два.
Многогранник — тело, поверхность которого из многоугольников.