Как устроен ряд натуральных чисел, у какого числа нет предыдущего, почему ряд не кончается и что за особое место занимает ноль.
Главная идея: Натуральные числа — это те, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и дальше. Выстроенные по порядку, они образуют натуральный ряд. У него есть начало — единица, но нет конца: к любому числу можно прибавить один и получить следующее. Ноль в этот ряд не входит, хотя без него не обойтись при записи чисел.
Запишем числа по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, … Многоточие
в конце не случайно — оно означает, что ряд продолжается.
У каждого числа есть следующее — оно на единицу больше.
У каждого числа, кроме единицы, есть предыдущее — на единицу меньше.
Числа, отличающиеся на единицу, называют соседними.
Единица — единственное натуральное число, у которого
нет предыдущего. Слева от неё натуральных чисел просто нет: ряд там
начинается.
Раздел 2
Почему ряд не кончается
Представьте, что кто-то назвал самое большое число.
Прибавим к нему единицу — получится число больше. Значит, названное
самым большим не было.
Так рассуждают математики, когда хотят показать,
что чего-то не существует: предполагают, что оно есть, и приходят
к противоречию. Здесь вывод такой: самого большого натурального
числа не существует, ряд бесконечен.
С маленькими числами всё иначе: наименьшее натуральное
число есть, и это единица.
Раздел 3
Особое место нуля
Ноль означает «ничего нет». Считать предметы с него
не начинают: если яблок нет вовсе, их и не пересчитывают. Поэтому
ноль не относится к натуральным числам.
Но в записи чисел он необходим — держит место пустого
разряда. В числе 205 нет десятков, и без нуля получилось бы 25.
Ещё у нуля особая роль в действиях: при сложении
он ничего не меняет ($7+0=7$), а при умножении обнуляет всё
($7\cdot 0=0$). Об этом будет отдельная тема.
Раздел 4
Сколько чисел между двумя
Вопрос «сколько натуральных чисел между 5 и 9» кажется
простым, но на нём ошибаются чаще всего.
Выпишем их: 6, 7, 8. Получается три числа.
Сами 5 и 9 не считаем — они не между, они границы.
Быстрый способ: из большего вычесть меньшее
и отнять единицу. Здесь $9-5-1=3$. Проверять всё равно полезно
выписыванием — на маленьких числах это занимает пару секунд.
Попробуйте сами
Поиграйте с долями
Погуляйте по натуральному ряду. Обратите внимание,
что будет, если дойти до самого начала — и что будет, если долго идти вправо.
предыдущее
—
наше число
1
следующее
2
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Считают ноль натуральным числом. Ряд начинается с единицы.
Ищут «самое большое число». Его не существует: к любому можно прибавить один.
При счёте «между» включают сами границы — получается на одно-два числа больше.
Путают следующее и предыдущее: следующее больше на единицу.
Думают, что раз ноль не натуральный, то он и не нужен. В записи чисел без него никак.
Коротко
Шпаргалка
Натуральные числа — те, которыми считают предметы: 1, 2, 3, …
Наименьшее натуральное число — единица; наибольшего не существует.
У каждого числа есть следующее; предыдущее есть у всех, кроме единицы.
Ноль не натуральный, но держит место пустого разряда в записи.
Между $a$ и $b$ лежит $b-a-1$ натуральных чисел — границы не считаются.
Курс математики 5 класса
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.