Математика · 5 класс · Наглядная геометрия: тела и объём
Объём куба и параллелепипеда
Что такое объём, откуда берётся формула V = a · b · c, чем кубический дециметр похож на литр и как не перепутать объём с площадью поверхности.
Главная идея: Объём — это сколько единичных кубиков помещается внутри. В одном слое их столько, какова площадь дна, то есть $a \cdot b$, а слоёв ровно $c$. Отсюда $V = a \cdot b \cdot c$ — формулу не нужно запоминать, её видно на коробке с кубиками.
В школе на тему отводится
4 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а закрепить помогает тренажёр.
Раздел 1
Объём — это кубики внутри
Единица объёма — кубик с ребром 1 см, он называется
кубическим сантиметром и записывается 1 см³. Объём тела — это
сколько таких кубиков в нём умещается.
Заполним коробку 4 × 3 × 2 см. В нижнем слое умещается
$4 \cdot 3 = 12$ кубиков, слоёв два, значит всего 24 кубика.
Отсюда формула: $V = a \cdot b \cdot c$ —
длина, умноженная на ширину и на высоту. Для куба все измерения равны,
поэтому $V = a^3$.
Раздел 2
Кубические единицы и литры
Единицы объёма переводятся не как длины и не как площади,
а через тысячу: кубиков и в длину, и в ширину, и в высоту по десять.
1 дм³ = 1000 см³
1 м³ = 1000 дм³ = 1 000 000 см³
Кубический дециметр — это литр. Поэтому
пакет молока на 1 литр — это куб со стороной 10 см, а 1 см³ — это
один миллилитр.
Частая путаница: 1 м³ считают равным 100 см³.
На самом деле в кубическом метре миллион кубических сантиметров —
представьте комнату, засыпанную кубиками сахара.
Раздел 3
Объём и площадь поверхности
Две величины у одной коробки, и путают их постоянно.
Объём — что внутри: сколько воды войдёт. Единицы см³.
Площадь поверхности — сколько бумаги на оклейку. Единицы см².
Проверка по вопросу задачи: «сколько войдёт, вместит,
нальётся» — это объём. «Сколько покрасить, оклеить, обшить» — площадь поверхности.
Типичная задача про аквариум: чтобы узнать, сколько литров
воды в него влезет, считают объём в кубических дециметрах — и получают
литры сразу, без перевода.
Если измерения даны в разных единицах — сантиметры
и метры вперемешку, — сначала приводят их к одним, и только потом умножают.
Попробуйте сами
Разберитесь руками
Каждый кубик — один кубический сантиметр.
Наполняйте коробку слоями и смотрите, как набирается объём.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Перемножают только два измерения и получают площадь дна вместо объёма.
Пишут объём в квадратных единицах или площадь — в кубических.
Переводят кубические единицы как обычные: считают, что в 1 м³ сто см³.
Умножают измерения в разных единицах, не приведя их к одним.
Путают вопросы задачи: «сколько войдёт» — объём, «чем оклеить» — площадь поверхности.
Коротко
Шпаргалка
Объём — сколько единичных кубиков внутри тела.
$V = a \cdot b \cdot c$; у куба $V = a^3$.
1 дм³ = 1000 см³ = 1 литр; 1 м³ = 1 000 000 см³.
Объём — в кубических единицах, площадь поверхности — в квадратных.
«Сколько войдёт» — объём; «сколько покрасить» — площадь поверхности.
Курс: математика 5 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.