Почему одну и ту же величину можно записать разными дробями, как сокращать дробь и как приводить её к нужному знаменателю.
Главная идея: Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, дробь не изменится. Причина простая: мы не взяли больше — мы просто нарезали то же самое мельче. Половина пиццы и две четвертинки — это одинаковое количество пиццы, и записи $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{2}{4}$ означают одно и то же.
Числитель и знаменатель можно умножить на одно
и то же число, не равное нулю, — величина дроби не изменится.
Можно и разделить, если оба делятся нацело.
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}$
Ключевое слово — оба. Меняем и верх, и низ,
причём на одно и то же число. Стоит изменить только числитель — и это
уже другая дробь, другое количество.
Проверить себя можно на пицце. Разрезали на 2 части,
взяли 1. Потом каждую часть разрезали пополам: частей стало 4, а взятых
кусков — 2. Пиццы в руках столько же.
Раздел 2
Сокращение дроби
Сократить дробь — значит поделить числитель
и знаменатель на их общий делитель. Дробь от этого не уменьшается,
она просто записывается короче.
Например, $\dfrac{6}{9}$: и 6, и 9 делятся на 3.
Делим оба — получаем $\dfrac{2}{3}$. Это то же самое количество,
записанное проще.
Ищем число, на которое делятся и числитель, и знаменатель.
Делим на него оба.
Повторяем, пока общих делителей не останется.
Дробь, которую больше сократить нельзя, называют
несократимой. Например, $\dfrac{3}{4}$: у тройки и четвёрки нет
общих делителей, кроме единицы.
Сокращать можно только делением. Вычесть
из числителя и знаменателя одно и то же число нельзя: из $\dfrac{6}{9}$
так получилось бы $\dfrac{4}{7}$ — совсем другая дробь.
Раздел 3
Приведение к новому знаменателю
Обратное действие: умножаем оба числа, чтобы получить
нужный знаменатель. Это понадобится, когда дроби надо будет складывать
или сравнивать.
Пусть нужно записать $\dfrac{2}{3}$ со знаменателем 12.
Спрашиваем: во сколько раз 12 больше трёх? В четыре. Значит и числитель
умножаем на 4: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{8}{12}$.
Новый знаменатель обязан делиться на старый.
Привести $\dfrac{2}{3}$ к знаменателю 10 не получится: десять на три
не делится нацело.
Попробуйте сами
Поиграйте с долями
Верхняя полоска — исходная дробь. Нижняя — та же
полоска, но разрезанная мельче. Двигайте ползунки и следите за
длиной закрашенного.
3
4
2
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Умножают или делят только числитель — дробь при этом меняется.
Сокращают вычитанием: из $\dfrac{6}{9}$ делают $\dfrac{4}{7}$. Работает только деление.
Останавливаются на полпути и оставляют дробь, которую можно сократить ещё.
Думают, что при сокращении дробь становится меньше. Меняется только запись.
Приводят к знаменателю, который не делится на старый, — например, $\dfrac{2}{3}$ к десятым.
Коротко
Шпаргалка
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}$ — умножаем или делим оба числа на одно и то же.
Сократить — поделить числитель и знаменатель на общий делитель.
Несократимая дробь — та, у которой общих делителей больше нет.
Привести к новому знаменателю можно, только если он делится на старый.
Величина дроби при этом не меняется — меняется лишь её запись.
Курс математики 5 класса
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.