Математика · 5 класс · Наглядная геометрия: тела и объём
Прямоугольный параллелепипед, куб. Развёртки
Как устроена обычная коробка, что такое три измерения, как выглядит развёртка и почему площадь поверхности считают именно по ней.
Главная идея: Прямоугольный параллелепипед — это коробка: шесть граней, и все они прямоугольники. Если её разрезать по рёбрам и разложить на столе, получится развёртка. Площадь поверхности — это площадь развёртки, то есть сумма площадей шести граней.
В школе на тему отводится
3 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а закрепить помогает тренажёр.
Раздел 1
Коробка и её измерения
У прямоугольного параллелепипеда шесть граней, и каждая —
прямоугольник. Противоположные грани равны между собой: у коробки дно
такое же, как крышка.
Три измерения: длина, ширина и высота.
Рёбер 12: по четыре каждого размера.
Вершин 8 — все углы коробки.
Куб — это параллелепипед, у которого все три
измерения равны. Тогда все грани — квадраты, а все двенадцать рёбер
одинаковой длины.
Раздел 2
Развёртка
Разрежем коробку по рёбрам и разложим на столе — получится
развёртка. У куба она состоит из шести квадратов, у параллелепипеда —
из шести прямоугольников трёх разных размеров, по два каждого.
Не всякая фигура из шести квадратов складывается в куб.
Если клетки при сгибании налезают друг на друга, куб не получится:
прямоугольник 2 × 3 как раз такой случай.
Проверка простая: клеток должно быть ровно шесть, и при
мысленном сгибании каждая должна занять своё место. Самая узнаваемая
развёртка куба — крест: четыре клетки в столбик и две по бокам.
Раздел 3
Площадь поверхности
Площадь поверхности — это площадь всей развёртки, то есть
сумма площадей шести граней. Считать все шесть по отдельности не нужно:
они попарно равны.
Параллелепипед: $S = 2 \cdot (ab + bc + ac)$.
Куб: все грани одинаковы, поэтому $S = 6a^2$.
Практический смысл прямой: столько бумаги уйдёт,
чтобы оклеить коробку, и столько краски — чтобы её покрасить.
Площадь поверхности измеряется в квадратных
единицах: см², м². Кубические единицы относятся к объёму, это другая величина.
Попробуйте сами
Разберитесь руками
Мысленно согните фигуру по линиям. Куб закрыт со всех
сторон, значит нужно ровно шесть клеток — и ни одна не должна лечь на другую.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Считают, что любая фигура из шести квадратов складывается в куб.
Забывают дно и крышку и считают площадь только четырёх боковых граней.
Пишут площадь поверхности в кубических единицах.
Путают формулы: берут $a \cdot b \cdot c$ там, где нужна площадь поверхности.
У куба считают $S = a^2$ вместо $6a^2$ — то есть площадь одной грани вместо всех.