Математика · 5 класс · Наглядная геометрия: многоугольники и площади
Периметр многоугольника
Что такое периметр, откуда берутся формулы для прямоугольника и квадрата и почему у фигур с одинаковой площадью периметр бывает разным.
Главная идея: Периметр — длина границы, то есть сумма длин всех сторон. Никакой отдельной формулы для этого не нужно: формулы прямоугольника и квадрата — просто короткая запись того же сложения, когда стороны повторяются.
Представьте забор вокруг участка. Его длина и есть
периметр. Чтобы найти периметр любого многоугольника, достаточно
сложить длины всех сторон.
Для треугольника со сторонами 3, 4 и 6 см:
$P = 3 + 4 + 6 = 13$ см.
Буква P — от греческого «перѝметрос»,
«измеряю вокруг». Измеряется периметр в обычных единицах длины:
сантиметрах, метрах, километрах.
Раздел 2
Прямоугольник и квадрат
У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому
в сумме каждое число встречается дважды:
$P = a + b + a + b$
значит $P = (a + b) \cdot 2$
у квадрата все стороны равны, поэтому $P = 4a$
Частая ошибка — посчитать $P = a \cdot 2 + b$
или просто $a + b$: тогда обходится только половина забора.
Проверка простая — сторон четыре, значит и слагаемых должно быть четыре.
Формулы работают и в обратную сторону. Если периметр
квадрата 20 см, то сторона равна $20 : 4 = 5$ см.
Раздел 3
Периметр и площадь — не одно и то же
Возьмём две фигуры площадью по 16 см²: квадрат 4 на 4
и полоску 16 на 1. Клеток внутри поровну, а забор разный:
квадрат: $P = 4 \cdot 4 = 16$ см;
полоска: $P = (16 + 1) \cdot 2 = 34$ см.
Из одинаковой площади не следует одинаковый периметр,
и наоборот. Это две независимые величины, и меряются они в разном:
периметр — в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах.
Житейский смысл: на одинаковый огород забора может
понадобиться вдвое больше — если участок вытянутый. Из всех прямоугольников
данной площади самый короткий забор у квадрата.
Попробуйте сами
Поиграйте с долями
Периметр — это длина забора вокруг фигуры.
Пройдите по сторонам и посмотрите, как набирается сумма.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Складывают только две стороны прямоугольника, забыв удвоить сумму.
Пишут периметр в квадратных единицах — они относятся к площади.
Путают формулы: $P = a \cdot b$ вместо $S = a \cdot b$.
Делят периметр квадрата на 2 вместо 4, когда ищут сторону.
Считают, что равная площадь означает равный периметр.
Коротко
Шпаргалка
Периметр — сумма длин всех сторон, измеряется в единицах длины.
Прямоугольник: $P = (a + b) \cdot 2$.
Квадрат: $P = 4a$, значит $a = P : 4$.
У треугольника просто складываем три стороны.
Равная площадь не означает равный периметр.
Курс математики 5 класса
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.