Как узнать, делится ли число, не выполняя деления: одни признаки смотрят на последнюю цифру, другие — на сумму всех цифр.
Главная идея: Признаки делят на две семьи. Для 2, 5 и 10 достаточно взглянуть на последнюю цифру: эти числа делят десяток нацело, поэтому всё, что левее, роли не играет. Для 3 и 9 смотрят на сумму цифр — и это единственное, что нужно запомнить отдельно.
На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8 — то есть чётные.
На 5 — оканчивающиеся на 0 или 5.
На 10 — оканчивающиеся на 0.
Почему хватает одной цифры: всё, что стоит левее, —
это десятки, сотни, тысячи, и каждое из них уже делится и на 2, и на 5,
и на 10. Значит судьбу решают только единицы.
Раздел 2
Смотрим на сумму цифр
На 3 делится число, у которого сумма цифр делится на 3.
На 9 — если сумма цифр делится на 9.
Например, 270: сумма цифр $2+7+0=9$. Девятка делится и на 3,
и на 9 — значит и само число делится на оба.
Если сумма всё ещё большая, её можно сложить ещё раз.
Для 999: $9+9+9=27$, затем $2+7=9$. Делится и на 3, и на 9.
На 3 и 9 последняя цифра ничего не говорит: 12 делится
на 3, а 14 — нет, хотя обе оканчиваются чётной цифрой.
Раздел 3
Зачем они нужны
Признаки экономят время там, где деление выполнять незачем:
при сокращении дробей, разложении на множители, поиске общего знаменателя.
Взглянули — и сразу видно, с чего начать.
Полезное следствие: если число делится на 9, оно
делится и на 3 — ведь девятка сама делится на три. Обратное неверно:
12 делится на 3, но не на 9.
Попробуйте сами
Поиграйте с долями
Наберите число — и сразу увидите, на что оно делится
и почему.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Проверяют делимость на 3 по последней цифре. Смотреть надо на сумму цифр.
Считают, что раз число делится на 3, то делится и на 9. Наоборот: на 9 сильнее.
Путают признаки для 5 и 10: на 10 годится только ноль в конце.
Забывают, что ноль в конце даёт делимость сразу на 2, 5 и 10.
Коротко
Шпаргалка
На 2 — последняя цифра чётная; на 5 — 0 или 5; на 10 — только 0.
На 3 — сумма цифр делится на 3; на 9 — сумма делится на 9.
Делится на 9 — значит делится и на 3. Обратное неверно.
Сумму цифр можно складывать повторно, пока не станет обозримой.
Курс математики 5 класса
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.