Как сравнить две дроби, почему одна вторая больше одной третьей и что делать, когда и числители, и знаменатели разные.
Главная идея: Сравнивать можно только одинаковые доли. Если знаменатели равны, доли равны — смотрим на числители. Если равны числители, смотрим на знаменатели: чем на большее число частей разрезали целое, тем каждая часть мельче. А если не совпадает ничего, дроби приводят к общему знаменателю — и первый случай возвращается.
Это самый простой случай. Если пиццу разрезали на 8 кусков,
то $\dfrac{5}{8}$ — это пять кусков, а $\dfrac{3}{8}$ — три. Куски
одинаковые, значит больше тот, кого больше по счёту.
При равных знаменателях больше та дробь, у которой
больше числитель: $\dfrac{5}{8} > \dfrac{3}{8}$.
Работает это только потому, что доли равные. Пять восьмых
и три восьмых — про одни и те же восьмушки, поэтому счёт кусков и решает.
Раздел 2
Одинаковые числители
Теперь берём по одному куску, но от пирогов, разрезанных
по-разному. Что больше: $\dfrac{1}{3}$ или $\dfrac{1}{5}$?
Разрезав пирог на 5 частей вместо 3, мы получаем куски
мельче. Значит один кусок из трёх больше, чем один из пяти:
$\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{5}$.
При равных числителях больше та дробь, у которой
меньше знаменатель. Это единственное место в теме, где «больше»
и «меньше» меняются местами, — и именно здесь чаще всего ошибаются.
Рассуждение «пять больше трёх, значит $\dfrac{1}{5}$
больше $\dfrac{1}{3}$» — самая частая ошибка пятого класса. Знаменатель
считает не куски, а на сколько частей резали.
Раздел 3
Когда не совпадает ничего
Сравним $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{3}{5}$. Ни числители,
ни знаменатели не равны, на глаз не видно. Приведём дроби к общему
знаменателю — то есть перережем обе полоски на одинаковые доли.
Общий знаменатель для 3 и 5 — число 15.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$ — числитель и знаменатель умножили на 5.
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$ — умножили на 3.
Теперь доли равные: 10 больше 9, значит $\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}$.
Проще всего сравнивать с $\dfrac{1}{2}$: если числитель
больше половины знаменателя, дробь больше половины. Так $\dfrac{3}{5}$
больше половины, а $\dfrac{4}{9}$ — меньше, и сравнивать их подробно уже не нужно.
Попробуйте сами
Поиграйте с долями
Полоски одинаковой длины — это одно и то же целое.
Меняйте дроби и смотрите, какая часть больше.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Сравнивают дроби по знаменателю «как числа»: раз 5 больше 3, то $\dfrac{1}{5}$ больше $\dfrac{1}{3}$. Наоборот: чем мельче резали, тем меньше доля.
При приведении к общему знаменателю умножают только знаменатель, забыв числитель.
Сравнивают дроби от разных целых: половина арбуза и половина яблока — не одно и то же.
Ищут общий знаменатель перебором, хотя достаточно перемножить знаменатели.
Коротко
Шпаргалка
Равные знаменатели — больше та дробь, где больше числитель.
Равные числители — больше та, где меньше знаменатель.
В остальных случаях приводим к общему знаменателю.
Общий знаменатель всегда можно взять как произведение знаменателей.
Быстрая прикидка: сравни числитель с половиной знаменателя.
Курс математики 5 класса
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.