Когда о делимости суммы можно судить, не вычисляя её, почему для произведения хватает одного множителя и в каком случае правила не существует вовсе.
Главная идея: Делимость можно проверять по частям, не считая результат. Если каждое слагаемое делится на число, делится и сумма. Если делится только одно — сумма не делится. А если не делится ни одно, правила нет: бывает и так, и так. С произведением проще — достаточно, чтобы делился хотя бы один множитель.
В школе на тему отводится
2 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Сумма
Возьмём 12 и 18. Оба делятся на 3, и сумма 30 тоже делится.
Это не совпадение: 12 — это четыре тройки, 18 — шесть троек, вместе
десять троек.
Оба слагаемых делятся на $d$ → сумма делится на $d$.
Одно делится, другое нет → сумма не делится.
Не делится ни одно → сказать заранее нельзя.
Для разности правила те же самые: она ведёт себя
как сумма. $30 - 12 = 18$ делится на 3, потому что делятся оба числа.
Раздел 2
Третий случай — самый важный
Когда ни одно слагаемое не делится, возможно и то, и другое:
$7 + 5 = 12$ — делится на 3, хотя ни 7, ни 5 не делятся;
$7 + 6 = 13$ — не делится на 3, хотя картина та же.
Разница — в остатках. У 7 остаток 1, у 5 остаток 2;
вместе $1 + 2 = 3$ — целая тройка, поэтому сумма делится. А если взять
$7 + 7 = 14$, остатки дадут $1 + 1 = 2$ — до тройки не хватило, и сумма
не делится, хотя ни одно слагаемое по-прежнему не делится.
Правило для этого случая одно: складывайте
остатки. Если их сумма делится на $d$, делится и вся сумма.
Самая частая ошибка темы — считать, что «не делится
плюс не делится всегда не делится». Это неверно, и контрпример находится
за секунду.
Раздел 3
Произведение
С произведением проще: если один множитель делится на $d$,
то делится и всё произведение — второй множитель этого уже не отменит.
$14 \cdot 9$ делится на 7, потому что на 7 делится 14.
Считать 126 для этого не нужно.
Обратное неверно. Произведение может делиться,
даже если ни один множитель не делится: $4 \cdot 9 = 36$ делится
на 6, хотя ни 4, ни 9 на 6 не делятся — шестёрка собралась из двойки
от четвёрки и тройки от девятки.
Отсюда практический вывод: сомневаетесь — разложите
множители на простые и посмотрите, есть ли внутри нужный делитель.
Попробуйте сами
Проверьте правила на своих числах
Подберите числа и делитель — и посмотрите, что можно
сказать о сумме, не вычисляя её.
12
18
3
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Считают, что «не делится плюс не делится» всегда не делится. Контрпример: 7 + 5 = 12.
Переносят правило суммы на произведение: там достаточно одного множителя.
Думают, что произведение не делится, если не делится ни один множитель: $4 \cdot 9 = 36$ делится на 6.
Забывают, что для разности правила те же, что и для суммы.
Проверяют делимость перемножением больших чисел вместо разложения на множители.
Коротко
Шпаргалка
Оба слагаемых делятся → сумма делится.
Одно делится, другое нет → сумма не делится.
Не делится ни одно → складывайте остатки.
Произведение делится, если делится хотя бы один множитель.
Обратное для произведения неверно: $4 \cdot 9$ делится на 6.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.