Как складывать, вычитать, умножать и делить большие числа в столбик, как проверять себя обратным действием и почему прикидка ловит ошибку быстрее, чем повторный пересчёт.
Главная идея: Правила действий не меняются от того, что число стало длиннее: столбик работает одинаково и для 47, и для 47 852. Меняется одно — цена ошибки. Поэтому в шестом классе к вычислению добавляется второй обязательный шаг: прикидка на круглых числах, которая показывает, каким ответ обязан быть примерно.
В школе на тему отводится
6 уроков: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Столбик и разряды
Всё, что нужно помнить про столбик, — это про разряды.
Единицы пишутся под единицами, десятки под десятками. Тогда каждый
столбец складывается сам по себе, а лишний десяток уходит соседу слева.
Сложение и вычитание: выравниваем по правому краю, идём
справа налево, помним про переход через десяток.
Умножение: умножаем на каждую цифру второго множителя
отдельно и сдвигаем строку влево на один разряд.
Деление уголком: делим по одному разряду, снося цифры
делимого по очереди.
Самая частая беда при умножении в столбик — забытый
сдвиг: вторая строка обязана начинаться на разряд левее первой.
Забыли сдвинуть — ответ уменьшится примерно в десять раз.
Раздел 2
Свойства действий экономят время
Считать можно не в том порядке, в каком записано, —
а в том, в каком удобнее.
Переместительное: $a + b = b + a$, $a \cdot b = b \cdot a$.
Распределительное: $a \cdot (b + c) = ab + ac$, поэтому
$98 \cdot 7 = (100 - 2) \cdot 7 = 700 - 14 = 686$.
Ищите пары, дающие круглое число: 25 и 4, 2 и 5,
125 и 8. Одна такая перестановка часто убирает весь столбик.
Раздел 3
Две проверки: точная и грубая
Точная проверка — обратное действие. Разность
проверяют сложением, частное — умножением: если $918 : 27 = 34$, то
$34 \cdot 27$ обязано дать 918.
Грубая проверка — прикидка. Округляем каждое число
до старшего разряда и считаем в уме: $4872 \cdot 39 \approx 5000 \cdot 40
= 200\,000$. Ответ 190 008 рядом — значит правдоподобен. А вот 19 000
или 1 900 080 прикидка отвергает сразу.
Прикидка занимает пять секунд и ловит именно те
ошибки, которые труднее всего заметить глазами: потерянный разряд,
забытый сдвиг, лишний ноль.
Попробуйте сами
Поймайте чужую ошибку
Считать не нужно. Округлите числа в уме и решите,
мог ли получиться такой ответ.
Прикидка — это грубый счёт на круглых числах.
Она не даёт точный ответ, зато мгновенно ловит ошибку в разряде.
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Пишут числа в столбик не по разрядам, а как попало — и складывают десятки с единицами.
Забывают сдвиг строки при умножении в столбик.
Теряют ноль в середине частного при делении уголком.
Не проверяют ответ обратным действием, хотя это одно действие.
Считают, не прикинув: ошибка «в десять раз» проходит незамеченной.
Коротко
Шпаргалка
Столбик — про разряды: единицы под единицами.
$a \cdot (b + c) = ab + ac$ — способ считать $98 \cdot 7$ в уме.