Действия с положительными и отрицательными числами

Главная идея: Правил всего два, и они разные. При сложении смотрят на знаки слагаемых: одинаковые — складываем модули, разные — вычитаем. При умножении и делении знак результата определяется отдельно: минус на минус даёт плюс.

Содержание

О чём эта страница

1. Сложение: смотрим на знаки слагаемых
2. Вычитание превращают в сложение
3. Умножение и деление: правило знаков
4. Раскрытие скобок
Попробуйте сами
Задачник: бесконечная практика
Проверьте себя на тренажёре
Частые ошибки

В школе на тему отводится 19 уроков: здесь собрано главное, что на них разбирают, а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи без конца.

Раздел 1

Сложение: смотрим на знаки слагаемых

Какие знаки	Что делать	Пример
оба минуса	сложить модули, поставить минус	$-3 + (-5) = -8$
оба плюса	как обычно	$3 + 5 = 8$
разные	из большего модуля вычесть меньший, взять знак большего	$-7 + 3 = -4$

Проверка термометром: было $-7$, потеплело на 3 — стало $-4$. Мороз ослаб, но не кончился.

Раздел 2

Вычитание превращают в сложение

Отдельного правила для вычитания нет. Вместо «минус» пишут «плюс противоположное» — и дальше работает правило сложения.

$a - b = a + (-b)$.
$5 - 8 = 5 + (-8) = -3$. $-4 - 6 = -4 + (-6) = -10$. $3 - (-7) = 3 + 7 = 10$.

Два минуса подряд дают плюс: $-(-7) = +7$.
Вычесть отрицательное — значит прибавить.
Результат может оказаться меньше нуля: это нормально.

Раздел 3

Умножение и деление: правило знаков

Знаки	Знак результата	Пример
$+ \cdot +$	$+$	$3 \cdot 4 = 12$
$- \cdot -$	$+$	$(-3) \cdot (-4) = 12$
$+ \cdot -$	$-$	$3 \cdot (-4) = -12$
$- \cdot +$	$-$	$(-3) \cdot 4 = -12$

Короче: знаки одинаковые — плюс, разные — минус. Для деления правило то же самое.

Не путайте с правилом сложения! $-3 + (-4) = -7$, а $-3 \cdot (-4) = +12$. Одни и те же числа, разные действия — разные знаки.

Раздел 4

Раскрытие скобок

Перед скобкой плюс — знаки внутри не меняются: $5 + (a - 3) = 5 + a - 3$.
Перед скобкой минус — все знаки внутри меняются на противоположные: $5 - (a - 3) = 5 - a + 3$.
Множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое: $-2(a - 4) = -2a + 8$.

Главная ошибка: меняют знак только у первого слагаемого. В $-(a - 3 + b)$ меняются все три знака: $-a + 3 - b$.

Попробуйте сами

Правила знаков в одном месте

Поменяйте действие, не трогая числа, — и посмотрите, что станет со знаком.

Знаки	При сложении	При умножении
оба плюса	плюс	плюс
оба минуса	минус	плюс
разные	знак большего модуля	минус

Для лаборатории нужен включённый JavaScript. Словами: при сложении одинаковые знаки — складываем модули и оставляем знак, разные — вычитаем и берём знак большего модуля. При умножении и делении одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

Задачник

Решайте, пока не надоест

Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся. Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.

Проверьте себя

Тренажёр по теме

На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.

На что обратить внимание

Частые ошибки

Применяют правило умножения к сложению: считают $-3 + (-4) = 7$.

При сложении разных знаков берут знак меньшего модуля.

Раскрывая скобки после минуса, меняют знак только у первого слагаемого.

Забывают, что $-(-a) = a$.

Теряют знак при умножении трёх и более множителей.

Коротко

Шпаргалка

Сложение: одинаковые знаки — складываем модули; разные — вычитаем, знак у большего.
$a - b = a + (-b)$: вычитание сводится к сложению.
Умножение и деление: знаки одинаковые — плюс, разные — минус.
Минус перед скобкой меняет знаки у всех слагаемых внутри.
$-(-a) = a$.

О чём эта страница

Сложение: смотрим на знаки слагаемых

Вычитание превращают в сложение

Умножение и деление: правило знаков

Раскрытие скобок

Правила знаков в одном месте

Решайте, пока не надоест

Тренажёр по теме

Частые ошибки

Шпаргалка

Курс: математика 6 класс