Что такое пропорция и её главное свойство, как читать масштаб карты и как по нему считать настоящие расстояния.
Главная идея:Пропорция — это равенство двух отношений: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$. Её главное свойство — произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$. Отсюда находят любое неизвестное. Масштаб — это отношение длины на карте к длине на местности.
В школе на тему отводится
2 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Пропорция и крест-накрест
Если $\dfrac{x}{6} = \dfrac{10}{15}$, то по главному
свойству $x \cdot 15 = 6 \cdot 10$, значит $x = 60 : 15 = 4$.
Правило «крест-накрест» и есть главное свойство:
перемножаем по диагонали и приравниваем.
Крайние члены — первый и последний, средние — два внутренних.
Неизвестное всегда находится делением произведения на известный
множитель.
Проверка: подставить найденное и сравнить отношения.
Раздел 2
Как читать масштаб
Масштаб $1 : 1000$ значит: один сантиметр на бумаге —
тысяча таких же сантиметров на местности, то есть 10 метров.
С карты на местность: умножаем на число масштаба.
С местности на карту: делим на него.
Чем больше число справа, тем мельче масштаб и тем больше
земли помещается на лист.
Полезные переводы: $1 : 100$ — в сантиметре метр;
$1 : 100\,000$ — в сантиметре километр; $1 : 1\,000\,000$ — в сантиметре
десять километров.
Главная ловушка — единицы. Масштаб считает
сантиметры в сантиметрах, а ответ обычно просят в метрах или километрах:
перевести нужно уже после умножения.
Раздел 3
Где ещё встречается пропорция
Чертежи и модели: масштаб $1 : 43$ у машинки означает,
что настоящая машина в 43 раза больше.
Рецепты: «на 4 порции — 200 г риса, сколько на 6?»
Цены: «3 тетради стоят 90 рублей, сколько стоят 5?»
Все эти задачи решаются одной пропорцией: записали
два отношения, перемножили крест-накрест, нашли неизвестное.
Но осторожно: пропорция годится только там, где величины
связаны прямо. «Пятеро рабочих сделают работу за 6 часов, а десять
за сколько?» — здесь связь обратная, и крест-накрест даст неверный ответ.
Попробуйте сами
Сантиметр карты и километры земли
Выберите масштаб и длину отрезка на карте —
внизу видно, сколько это на земле.
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Перемножают не крест-накрест, а по строкам.
Забывают перевести сантиметры в метры или километры после умножения на масштаб.
Путают, где умножать, а где делить: с карты на местность — умножение.
Применяют пропорцию к обратной зависимости.
Считают, что чем больше число в масштабе, тем крупнее карта.
Коротко
Шпаргалка
Пропорция: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, отсюда $a \cdot d = b \cdot c$.
Неизвестное = произведение известных : оставшийся множитель.
Масштаб $1 : n$ — в 1 см карты $n$ см местности.
С карты на местность умножаем, обратно — делим.
$1 : 100\,000$ — в сантиметре километр.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.