Математика · 6 класс · Положительные и отрицательные числа
Модуль числа
Что такое модуль, почему он никогда не бывает отрицательным и как модуль помогает сравнивать и складывать числа со знаком.
Главная идея:Модуль числа — это расстояние от него до нуля на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому $|{-7}| = 7$ и $|7| = 7$. Модуль как бы «стирает знак», оставляя только величину.
В школе на тему отводится
5 уроков: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Модуль — это расстояние
От дома до школы 700 м. Идёшь ты туда или обратно —
расстояние одно и то же. С числами так же: модуль не зависит от того,
с какой стороны от нуля стоит число.
$|{-7}| = 7$, $|7| = 7$, $|0| = 0$.
Модуль положительного числа — само число.
Модуль отрицательного — противоположное ему число.
Модуль нуля — ноль.
Модуль никогда не отрицателен: запись $|a| = -3$ невозможна.
Раздел 2
У противоположных чисел модуль общий
$|{-4}| = |4| = 4$. Отсюда важное следствие: по модулю
нельзя восстановить само число — их всегда два.
Если $|x| = 6$, то $x$ — это $6$ или $-6$.
Два ответа, а не один. Единственное исключение: $|x| = 0$ даёт только $x = 0$.
Запись
Значение
Почему
$|{-12}|$
12
расстояние до нуля равно 12
$-|{-12}|$
$-12$
сначала модуль, потом минус перед ним
$|{-12}| + |3|$
15
$12 + 3$
Раздел 3
Зачем модуль нужен на практике
Модуль — рабочий инструмент для следующей темы. Правила
сложения и сравнения чисел со знаком формулируются именно через него.
Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше:
$-2 > -7$, потому что $2 < 7$.
Складывая числа с разными знаками, из большего модуля вычитают меньший.
Расстояние между точками на прямой — это модуль разности:
от $-3$ до $5$ ровно $|5 - (-3)| = 8$.
Попробуйте сами
Расстояние до нуля
Двигайте точку и следите за длиной отрезка до нуля.
Это и есть модуль.
−6
модуль |a|
6
противоположное −a
6
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Пишут, что модуль может быть отрицательным.
Из $|x| = 6$ достают только один корень вместо двух.
Путают $-|{-6}|$ и $|{-6}|$: минус снаружи модуля остаётся.
Считают, что у большего по модулю отрицательного числа большее значение.
Забывают, что $|0| = 0$ — единственный случай с одним решением.
Коротко
Шпаргалка
Модуль — расстояние до нуля, поэтому он неотрицателен.
$|a| = |-a|$: у противоположных чисел модуль общий.
$|x| = c$ при $c > 0$ даёт два корня: $c$ и $-c$.
Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.
Расстояние между точками $= |a - b|$.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.