Чем делитель отличается от кратного, как разложить число на простые множители и как из этого разложения получить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Главная идея: Разложение на простые множители — это «паспорт» числа: у каждого числа он единственный. Как только оба числа разложены, всё остальное читается прямо из записи: общие множители дают НОД, а если к общим добавить всё остальное — получится НОК.
В школе на тему отводится
6 уроков: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Делители и кратные
Эти два слова описывают одно и то же деление с разных сторон.
Делитель числа — то, на что оно делится нацело.
У 12 это 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Кратное числа — то, что делится на него нацело.
У 12 это 12, 24, 36, 48 и так без конца.
Делителей у числа конечное число, и все они не
больше самого числа. Кратных бесконечно много, и все они не меньше числа.
Перепутать легко, а разница именно в этом.
Раздел 2
Разложение на простые множители
Любое составное число можно разложить в произведение простых —
и единственным способом, если не считать порядок множителей.
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$
Раскладывают делением: делим на 2, пока делится, потом на 3,
потом на 5 и так далее по простым числам.
Признаки делимости здесь экономят время: на 2 делятся
числа с чётной последней цифрой, на 3 — те, у которых сумма цифр делится
на 3, на 5 — оканчивающиеся на 0 или 5.
Раздел 3
НОД и НОК
НОД — наибольший общий делитель, самое большое число,
на которое делятся оба. Берём общие множители из разложений:
у 24 и 36 общие — это $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.
НОК — наименьшее общее кратное, самое маленькое число,
которое делится на оба. Берём всё разложение первого и добавляем недостающие
множители второго: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72$.
Проверка, которая работает всегда:
НОД · НОК = a · b. Здесь $12 \cdot 72 = 864$ и $24 \cdot 36 = 864$.
Если общих множителей нет, НОД равен 1, а НОК — просто
произведению. Такие числа называют взаимно простыми: например 8 и 15.
Зачем это нужно: НОД сокращает дроби (числитель и знаменатель
делят на НОД), а НОК даёт общий знаменатель при сложении.
Попробуйте сами
Разложите числа на множители
Каждое число разложено на простые множители.
Зелёные — общие для обоих чисел, оранжевые есть только у одного.
24
36
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Путают делители и кратные: делителей конечное число, кратных бесконечно много.
Останавливают разложение на составном множителе: пишут $36 = 6 \cdot 6$ и считают это ответом.
Включают единицу в разложение на простые множители.
Для НОК берут все множители обоих чисел, включая общие дважды.
Считают, что НОД всегда меньше обоих чисел: если одно делится на другое, НОД равен меньшему из них.
Коротко
Шпаргалка
Делитель — на что делится число; кратное — что делится на него.
Разложение на простые множители у числа единственное.
НОД — произведение общих множителей.
НОК — общие множители плюс все недостающие.
Проверка: $НОД \cdot НОК = a \cdot b$; у взаимно простых НОД = 1.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.