Обыкновенная дробь. Основное свойство и сокращение
Что означают числитель и знаменатель, почему дробь не меняется от умножения обеих частей на одно число и как сокращать до конца.
Главная идея: Дробь $\dfrac{a}{b}$ — это $a$ долей размером $\dfrac{1}{b}$. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля), дробь не изменится: долей стало больше, но они мельче. Это и есть основное свойство дроби.
В школе на тему отводится
4 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Числитель и знаменатель
Знаменатель говорит, на сколько равных долей разделили целое,
числитель — сколько таких долей взяли.
В дроби $\dfrac{3}{8}$ пирог разрезан на 8 кусков,
и взяли 3 из них. Знаменатель — «какие куски», числитель — «сколько».
Дробь правильная, если числитель меньше знаменателя:
$\dfrac{3}{8} < 1$.
Дробь неправильная, если числитель больше или равен
знаменателю: $\dfrac{9}{8} > 1$.
Знаменатель нулём быть не может: на ноль частей не делят.
Раздел 2
Основное свойство
Разрежем каждый из трёх взятых кусков пополам. Кусков стало
вдвое больше, но и весь пирог теперь поделён вдвое мельче — съедено
столько же.
$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} =
\dfrac{6}{16}$ — записи разные, доля одна.
Умножать и делить надо обе части дроби на одно число.
Умножение обеих частей называют приведением к новому знаменателю.
Деление обеих частей — сокращением.
Прибавлять одно и то же число к обеим частям
нельзя: $\dfrac{1}{2}$ и $\dfrac{1+1}{2+1} = \dfrac{2}{3}$ — разные
дроби. Свойство работает только для умножения и деления.
Раздел 3
Сокращение до конца
Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель
на их общий делитель. Дробь, которую больше сократить нельзя, называют
несократимой.
$\dfrac{18}{24}$: НОД(18, 24) = 6, делим обе части
на 6 и получаем $\dfrac{3}{4}$ — сразу и до конца.
Сокращать удобнее всего сразу на НОД.
Можно и по шагам: сначала на 2, потом ещё на 3 — результат тот же.
Дробь несократима, когда НОД числителя и знаменателя равен 1.
В ответе задачи дробь принято записывать несократимой:
$\dfrac{3}{4}$, а не $\dfrac{18}{24}$.
Попробуйте сами
Одна и та же доля разными числами
Верхняя полоска — исходная дробь. Нижняя — та же
полоска, но разрезанная мельче. Двигайте ползунки и следите за
длиной закрашенного.
3
4
2
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Прибавляют одно число к числителю и знаменателю, думая, что дробь не изменится.
Сокращают только числитель или только знаменатель.
Останавливаются на полпути и оставляют сократимую дробь в ответе.
Сокращают на число, которое не делит обе части нацело.
Пишут ноль в знаменателе.
Коротко
Шпаргалка
$\dfrac{a}{b}$ — взяли $a$ долей по $\dfrac{1}{b}$.
Основное свойство: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k}$ при $k \ne 0$.
Сокращение — деление обеих частей на общий делитель.
Быстрее всего сокращать сразу на НОД.
Несократимая дробь: НОД числителя и знаменателя равен 1.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.