Математика · 6 класс · Наглядная геометрия: прямые на плоскости
Перпендикулярные прямые
Что такое прямой угол, как обозначают перпендикулярность, где она прячется в тетради и в комнате — и как достроить перпендикуляр без транспортира.
Главная идея: Две прямые называют перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямой угол — 90°. Одного прямого угла достаточно: три остальных тогда тоже прямые. Записывают это значком: $AB \perp CD$.
В школе на тему отводится
2 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Прямой угол и знак перпендикулярности
Угол в 90° называют прямым. Его узнают по уголку
тетрадного листа, по углу двери, по строительному угольнику — все они
сделаны прямыми не случайно.
Если прямые $a$ и $b$ пересекаются под прямым углом,
пишут $a \perp b$ и читают «а перпендикулярно бэ». На чертеже прямой угол
отмечают квадратиком в вершине, а не дугой.
При пересечении двух прямых получаются четыре угла.
Если один из них прямой, то и остальные три прямые.
Перпендикулярность взаимна: если $a \perp b$, то и $b \perp a$.
Перпендикулярными бывают не только прямые, но и отрезки с
лучами — важно, под каким углом они встречаются.
Раздел 2
Как построить перпендикуляр
Через любую точку можно провести перпендикуляр к прямой —
и только один. Это верно и для точки на самой прямой, и для точки
вне её.
Угольником: приложить одну сторону прямого угла к прямой,
придвинуть к точке и провести по второй стороне.
По клеткам: если прямая идёт по линии клетчатой бумаги,
перпендикуляр идёт по перпендикулярной линии сетки.
Складыванием: перегнуть лист так, чтобы прямая совпала
сама с собой, — линия сгиба и есть перпендикуляр.
«На глаз почти прямой» — не считается. В геометрии
90° это ровно 90°, а не «примерно»: иначе рушатся все дальнейшие
рассуждения о расстояниях и площадях.
Раздел 3
Прямой угол в вычислениях
Прямой угол удобно делить: если из его вершины провести
луч, два получившихся угла в сумме дадут 90°.
Луч разделил прямой угол на два, и один из них 35°.
Второй — это $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
Такие пары углов называют дополнительными до прямого.
Похожая пара получается на прямой: там углы дополняют друг друга до 180°,
и их называют смежными.
Дополнение до прямого: $90^\circ - \alpha$.
Дополнение до развёрнутого (смежный угол): $180^\circ - \alpha$.
Угол, смежный с прямым, тоже прямой: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Попробуйте сами
Прямой угол на глаз и по угольнику
Поверните вторую прямую и посмотрите на четыре угла.
Перпендикулярность наступает ровно в одной точке шкалы.
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Отмечают прямой угол дугой, как обычный, — квадратик в вершине означает именно 90°.
Считают перпендикулярными прямые, которые пересекаются «почти под прямым углом».
Путают значки $\perp$ и $\parallel$.
Вычитают угол из 180° там, где нужно из 90°.
Думают, что перпендикуляр к прямой через точку можно провести не один.
Коротко
Шпаргалка
Прямой угол — 90°, на чертеже его отмечают квадратиком.