Математика · 6 класс · Наглядная геометрия: фигуры на плоскости
Приближённое измерение площади. Площадь круга
Как оценить площадь фигуры с кривой границей, откуда взялось число $\pi$ и как считают длину окружности и площадь круга.
Главная идея: У фигуры с кривой границей точную площадь по клеткам не сосчитать — её оценивают: снизу целыми клетками внутри, сверху всеми задетыми клетками. Для круга нашли точную формулу: $S = \pi r^2$.
Радиус — от центра до края, диаметр — через центр насквозь. Диаметр вдвое длиннее радиуса.
В школе на тему отводится
2 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Оценка снизу и сверху
Кривая граница режет клетки пополам и на четвертинки.
Точное число не сосчитать, зато можно зажать площадь между двумя числами.
Снизу: сосчитайте клетки, целиком лежащие внутри.
Сверху: сосчитайте все клетки, которых фигура хоть немного
касается.
Настоящая площадь — где-то между этими числами.
Хорошая оценка — среднее между ними.
Чем мельче клетка, тем ближе оценки друг к другу.
На этом же приёме держится вся высшая математика.
Раздел 2
Откуда взялось число $\pi$
Если измерить длину любой окружности и её диаметр,
а потом поделить одно на другое, всегда получится примерно $3{,}14$.
Это отношение и назвали $\pi$.
$\pi = C : d \approx 3{,}14$. В школе берут
$\pi \approx 3{,}14$, иногда $\pi \approx 3$ для грубой прикидки.
Длина окружности: $C = \pi d$, или $C = 2\pi r$.
Площадь круга: $S = \pi r^2$.
Окружность — линия, круг — то, что внутри неё.
Раздел 3
Считаем по формулам
Радиус 5 см. Длина окружности:
$C = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4$ см. Площадь круга:
$S = 3{,}14 \cdot 5 \cdot 5 = 78{,}5$ см².
В формуле площади радиус умножается сам на себя, а не на два.
Если дан диаметр — сначала найдите радиус: $r = d : 2$.
Проверка: площадь круга чуть больше трёх «квадратов радиуса»
и меньше площади описанного квадрата $2r \times 2r$.
Самая частая ошибка — посчитать $\pi \cdot 2r$
вместо $\pi r^2$. Длина и площадь меряются в разных единицах:
см и см².
Попробуйте сами
Оцените площадь по клеткам
Синим закрашены клетки целиком внутри круга,
бледным — те, которых он только касается.
4
снизу: целые внутри
0
формула πr²
0
сверху: все задетые
0
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Считают площадь круга как $2\pi r$ — это длина окружности.
Подставляют в формулу диаметр вместо радиуса.
Пишут длину окружности в квадратных единицах.
Складывают оценку снизу и сверху вместо того, чтобы взять промежуток.
Путают круг и окружность: у линии площади нет.
Коротко
Шпаргалка
$C = \pi d = 2\pi r$ — длина окружности, в см.
$S = \pi r^2$ — площадь круга, в см².
$\pi \approx 3{,}14$; $r = d : 2$.
Оценка по клеткам: снизу — целые внутри, сверху — все задетые.
Окружность — линия, круг — то, что она ограничивает.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.