Математика · 6 класс · Наглядная геометрия: фигуры в пространстве
Развёртки многогранников, цилиндра и конуса
Что такое развёртка, как выглядит выкройка куба, цилиндра и конуса и как по развёртке найти площадь поверхности.
Главная идея:Развёртка — это выкройка: фигуру разрезали по рёбрам и разложили на плоскости. Все грани при этом сохраняют свои размеры, поэтому площадь поверхности удобно считать именно по развёртке.
Длина прямоугольника в развёртке цилиндра равна длине окружности основания — он как раз обхватывает его целиком.
В школе на тему отводится
2 урока: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Из чего состоят развёртки
Фигура
Из чего состоит развёртка
Куб
шесть равных квадратов
Параллелепипед
шесть прямоугольников, попарно равных
Цилиндр
прямоугольник и два круга
Конус
круг и сектор круга
Пирамида
основание и боковые треугольники
У шара развёртки нет: его поверхность нельзя
разложить на плоскости без растяжения. Поэтому на всех картах мира
материки искажены.
Раздел 2
Соберётся или нет
Не всякие шесть квадратов складываются в куб.
Есть простая проверка на глаз.
Квадратов должно быть ровно шесть.
Не должно быть «крестовины» из четырёх квадратов вокруг одного —
такие грани наложатся друг на друга.
В ряду должно быть не больше четырёх квадратов: они как раз
обходят куб по кругу.
Всего у куба одиннадцать разных развёрток.
Проще всего запомнить «крест»: ряд из четырёх и по одному сверху и снизу.
Раздел 3
Площадь поверхности по развёртке
Площадь поверхности — это площадь всей выкройки.
Считают по частям и складывают.
Куб с ребром $a$: шесть квадратов, значит
$S = 6 \cdot a \cdot a$. При $a = 3$: $6 \cdot 9 = 54$ см².
Параллелепипед $a \times b \times c$: $S = 2(ab + bc + ac)$ —
по две одинаковые грани каждого вида.
Цилиндр: два круга плюс прямоугольник длиной $2\pi r$.
Единицы у площади поверхности квадратные: см², м².
Попробуйте сами
Соберите фигуру из выкройки
Перед вами шесть квадратов. Свернётся ли из них куб?
Подсказка: в одном ряду не должно быть больше четырёх
квадратов, и нельзя, чтобы четыре квадрата окружали один со всех сторон.
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Считают площадь поверхности куба как $a \cdot a$ — только одну грань.
Путают площадь поверхности с объёмом.
Думают, что у шара есть развёртка.
Берут развёртку конуса за развёртку цилиндра.
Собирают куб из шести квадратов, стоящих крестовиной вокруг одного.
Коротко
Шпаргалка
Развёртка — выкройка фигуры, разложенная на плоскости.
Куб: шесть равных квадратов, $S = 6a^2$.
Параллелепипед: $S = 2(ab + bc + ac)$.
Цилиндр: прямоугольник и два круга; конус: круг и сектор.
У шара развёртки нет.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.