Задачи в несколько действий: скидки и наценки, части от остатка, сравнение величин в процентах. Главный вопрос всюду один — что здесь сто процентов.
Главная идея: В любой задаче на дроби и проценты сначала находят, что принято за целое. Ошибка почти всегда не в вычислениях, а здесь: скидку считают от новой цены вместо старой, вторую часть — от исходного числа вместо остатка.
В школе на тему отводится
6 уроков: здесь собрано главное, что на них разбирают,
а решать можно сколько угодно — задачник ниже выдаёт новые задачи
без конца.
Раздел 1
Что принять за сто процентов
«Цену подняли на 20 %, потом снизили на 20 %. Вернулась
ли она к прежней?» Нет — и именно потому, что целое поменялось.
Было 1000. После роста: $1000 \cdot 1{,}2 = 1200$.
Скидка считается уже от 1200: $1200 \cdot 0{,}8 = 960$. Итог ниже
первоначальной цены на 40 рублей.
Каждый следующий процент считается от нового значения.
Проценты нельзя складывать и вычитать напрямую.
Первый вопрос любой задачи: сто процентов — это что сейчас?
Раздел 2
Части от остатка
«В первый день прочитали $\dfrac{1}{3}$ книги, во второй —
$\dfrac{1}{2}$ остатка». Вторая дробь берётся не от книги, а от того,
что осталось.
Книга 180 страниц. Первый день: $180 : 3 = 60$.
Остаток 120. Второй день: $120 : 2 = 60$. Осталось 60 страниц.
Если посчитать половину от всей книги, получится 90 —
и ответ развалится. Слово «остаток» в условии всегда важнее привычки.
Раздел 3
На сколько процентов больше
«На сколько процентов 60 больше 50?» Целое здесь — то,
с чем сравнивают, то есть 50.
Разница: $60 - 50 = 10$.
Доля разницы: $10 : 50 = 0{,}2$.
В процентах: $20\,\%$.
Обратный вопрос даёт другой ответ: 50 меньше 60
на $10 : 60 \approx 16{,}7\,\%$. Порядок сравнения меняет целое, а
значит и результат.
Поэтому в условии важно каждое слово: «больше чего»
и «меньше чего» — не одно и то же.
Попробуйте сами
Что принять за целое
Задачник
Решайте, пока не надоест
Каждая задача собирается заново, поэтому они не закончатся.
Ответ проверяется сразу, а разбор показывает, как считать.
Для класса есть другой режим:
два варианта решают задачи одного типа с разными числами, по 30 секунд
на задачу. Ответов на экране нет — они появятся на разборе.
Проверьте себя
Тренажёр по теме
На каждый ответ — объяснение, даже если он неверный.
На что обратить внимание
Частые ошибки
Складывают проценты, посчитанные от разных величин.
Считают вторую часть от исходного числа, а не от остатка.
Меняют местами «больше чего» и «меньше чего» при сравнении.
Считают скидку от новой цены вместо старой.
Округляют в середине решения и получают неверный итог.
Коротко
Шпаргалка
Первый шаг: что здесь сто процентов.
Рост на $p\,\%$: умножить на $1 + \dfrac{p}{100}$; скидка: на $1 - \dfrac{p}{100}$.
«Половина остатка» — от остатка, а не от целого.
На сколько процентов больше: разница : то, с чем сравнивают, $\cdot\, 100$.
Рост и такая же скидка не возвращают прежнюю цену.
Курс: математика 6 класс
Тема пройдена — возвращайтесь к карте курса и выбирайте следующую.