Полный разбор: обыкновенные и десятичные дроби, действия с ними, что такое процент, как найти процент от числа и число по проценту, и как решать задачи на скидки, наценки и вклады. С примерами, таблицами и разбором ошибок.
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → зачётные тренажёры по навыкам. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →Дробь $\dfrac{m}{n}$ показывает, что целое разделили на $n$ равных долей и взяли $m$ таких долей. Число сверху ($m$) — числитель, снизу ($n$) — знаменатель.
Дробь называют правильной, если числитель меньше знаменателя ($\tfrac{3}{5}$) — она меньше единицы. Если числитель больше или равен знаменателю ($\tfrac{7}{4}$), дробь неправильная — она больше или равна единице.
Неправильную дробь удобно записать как целая часть плюс правильная дробь: $\dfrac{7}{4} = 1\tfrac{3}{4}$. Обратно: $2\tfrac{1}{3} = \dfrac{2\cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{7}{3}$.
Значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля): $\dfrac{m}{n} = \dfrac{m\cdot k}{n\cdot k}$.
Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на общий делитель. Удобнее всего делить на их наибольший общий делитель (НОД).
$\dfrac{24}{36} = \dfrac{24:12}{36:12} = \dfrac{2}{3}$ — поделили на НОД$(24,36)=12$. Дробь стала несократимой.
Приводим к общему знаменателю, затем складываем (вычитаем) числители.
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Перемножаем числители и знаменатели (можно сократить заранее).
$\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{9} = \dfrac{3\cdot 8}{4\cdot 9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$.
Деление на дробь — умножение на обратную (перевёрнутую) дробь.
$\dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{12}{5} = \dfrac{60}{30} = 2$.
Десятичная дробь — это дробь со знаменателем $10, 100, 1000,\ldots$, записанная через запятую: $\dfrac{7}{10}=0{,}7$, $\dfrac{23}{100}=0{,}23$.
Записываем «запятая под запятой» и складываем поразрядно: $0{,}2+0{,}45 = 0{,}65$.
Перемножаем как целые числа, затем в произведении отделяем запятой столько знаков, сколько их после запятой у обоих множителей вместе: $1{,}5\cdot 0{,}4 = 0{,}60 = 0{,}6$.
Удобно домножить делимое и делитель на $10, 100,\ldots$, чтобы делитель стал целым: $0{,}6:0{,}2 = 6:2 = 3$.
| Перевод | Как | Пример |
|---|---|---|
| Дробь → десятичная | делим числитель на знаменатель | $\tfrac{3}{5}=0{,}6$ |
| Десятичная → дробь | «без запятой» / $10,100,\ldots$, сократить | $0{,}8=\tfrac{8}{10}=\tfrac{4}{5}$ |
| Десятичная → проценты | умножить на $100$, добавить «%» | $0{,}35=35\%$ |
| Проценты → десятичная | разделить на $100$ | $7\%=0{,}07$ |
| Дробь → проценты | перевести в десятичную, ×100 | $\tfrac{3}{4}=0{,}75=75\%$ |
Процент — это одна сотая часть числа. $1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$. Запись «$p\%$ от величины» означает «взять $\dfrac{p}{100}$ этой величины».
Поэтому всё число — это $100\%$, половина — $50\%$, четверть — $25\%$. Проценты удобны, потому что позволяют сравнивать доли независимо от размера целого.
В классе $25$ учеников, из них $5$ — отличники. Их доля: $\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0{,}2=20\%$.
Чтобы найти $p\%$ от числа $a$, нужно $a$ умножить на $\dfrac{p}{100}$.
$20\%$ от $150$: $150\cdot\dfrac{20}{100} = 150\cdot 0{,}2 = 30$.
Если известно, что $p\%$ числа равны $b$, то само число $a = b : \dfrac{p}{100} = \dfrac{b\cdot 100}{p}$.
$25\%$ некоторого числа равны $40$. Тогда число: $40 : 0{,}25 = \dfrac{40\cdot 100}{25} = 160$.
Чтобы узнать, сколько процентов число $b$ составляет от числа $a$, нужно $\dfrac{b}{a}$ умножить на $100\%$.
Сколько процентов составляет $18$ от $60$? $\dfrac{18}{60}\cdot 100\% = 0{,}3\cdot 100\% = 30\%$.
Увеличить число на $p\%$ — значит прибавить $p\%$ от него; уменьшить — вычесть.
Цена $800$ р. выросла на $10\%$: $800\cdot 1{,}1 = 880$ р.
Товар $1200$ р. со скидкой $25\%$: $1200\cdot(1-0{,}25)=1200\cdot 0{,}75 = 900$ р.
Вклад $2000$ р. под $5\%$ годовых. За год начислят $2000\cdot 0{,}05 = 100$ р.; на счёте станет $2100$ р.