Полный разбор темы: что такое рациональное число, как оно связано с дробями и десятичными записями, как переводить одни формы в другие, сравнивать и выполнять действия. С примерами, таблицами и разбором типичных ошибок.
Не понял тему в школе или хочешь повторить? Пройди её по шагам: теория → тренажёр → тест. Задачи генерируются автоматически, ответы проверяются сразу, а прогресс сохраняется — видно, что уже усвоено.
Начать прохождение темы →Рациональное число — это число, которое можно записать в виде обыкновенной дроби $\dfrac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число (то есть $n \ne 0$).
Множество всех рациональных чисел обозначают буквой $\mathbb{Q}$ (от лат. quotient — «частное»). Ключевая идея: рациональное число — это отношение двух целых чисел. Если число можно представить как «целое, делённое на целое» (с ненулевым делителем), оно рационально.
Деление на ноль не определено: выражение $\dfrac{m}{0}$ не имеет смысла, потому что не существует числа, которое при умножении на $0$ дало бы $m \ne 0$. Поэтому в определении всегда $n \ne 0$.
$\dfrac{3}{4}$, $-\dfrac{7}{2}$, $5 = \dfrac{5}{1}$, $0 = \dfrac{0}{1}$, $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$, $-2{,}(3) = -\dfrac{7}{3}$, $1\tfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$. Все они — отношение двух целых чисел.
Рациональные числа «вбирают» в себя все привычные числа, которые встречаются в школе до 8 класса. Натуральные числа являются частью целых, а целые — частью рациональных:
| Множество | Что входит | Рациональны? |
|---|---|---|
| Натуральные $\mathbb{N}$ | $1,2,3,\ldots$ | Да: $7=\tfrac{7}{1}$ |
| Целые $\mathbb{Z}$ | натуральные, $0$, отрицательные | Да: $-4=\tfrac{-4}{1}$ |
| Обыкновенные дроби | $\tfrac{m}{n}$ | Да по определению |
| Конечные десятичные | $0{,}25;\ -3{,}1$ | Да: $0{,}25=\tfrac14$ |
| Периодические десятичные | $0{,}(3);\ 1{,}2(7)$ | Да: $0{,}(3)=\tfrac13$ |
| Бесконечные непериодические | $\sqrt{2};\ \pi$ | Нет — иррациональные |
Одно и то же число можно записать по-разному — это удобно для разных задач.
$\dfrac{m}{n}$ — числитель над знаменателем. Дробь правильная, если $|m| < n$ (например $\tfrac{3}{5}$), и неправильная, если $|m| \ge n$ (например $\tfrac{7}{4}$).
Неправильную дробь можно записать как целая часть плюс правильная дробь: $\dfrac{7}{4} = 1\tfrac{3}{4}$. Это удобно «на глаз», но для вычислений смешанное число обычно снова переводят в неправильную дробь.
Запись через запятую: $\tfrac{1}{4}=0{,}25$. Бывает конечной ($0{,}25$) или бесконечной периодической ($\tfrac13 = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$).
Значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля): $\dfrac{m}{n} = \dfrac{m\cdot k}{n\cdot k}$.
$\dfrac{12}{18} = \dfrac{12:6}{18:6} = \dfrac{2}{3}$ — делим на НОД(12, 18)=6. Дробь стала несократимой.
Число рационально тогда и только тогда, когда его десятичная запись либо конечна, либо бесконечна, но периодична (с какого-то места цифры повторяются группами).
Период записывают в скобках: $0{,}3333\ldots = 0{,}(3)$, $0{,}16666\ldots = 0{,}1(6)$, $0{,}272727\ldots = 0{,}(27)$.
Несократимая дробь $\dfrac{m}{n}$ обращается в конечную десятичную дробь ровно тогда, когда в разложении знаменателя $n$ на простые множители есть только двойки и пятёрки (то есть $n = 2^a \cdot 5^b$).
$\dfrac{7}{40}$: знаменатель $40 = 2^3\cdot 5$ — только 2 и 5 ⟹ конечная
($0{,}175$).
$\dfrac{5}{12}$: $12 = 2^2\cdot 3$ — есть множитель $3$ ⟹ периодическая
($0{,}41(6)$).
Делим числитель на знаменатель «уголком».
$\dfrac{3}{8} = 3 : 8 = 0{,}375$.
Записываем «без запятой» в числитель, а в знаменатель — $10$, $100$, $1000$ (по числу знаков после запятой), затем сокращаем.
$0{,}24 = \dfrac{24}{100} = \dfrac{6}{25}$.
Период из $k$ цифр кладём в числитель, а в знаменатель — $k$ девяток.
$0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac13$; $0{,}(27) = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$.
Если до периода есть «предпериод», пользуемся правилом: в числитель — «всё число до конца первого периода» минус «число до периода»; в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр в предпериоде.
$0{,}1(6) = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$.
Каждому рациональному числу соответствует точка на числовой прямой. Положительные — справа от нуля, отрицательные — слева.
Общий знаменатель $18$: $\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}$, $\dfrac{7}{9} = \dfrac{14}{18}$. Значит $\dfrac{5}{6} > \dfrac{7}{9}$.
| Действие | Одинаковые знаки | Разные знаки |
|---|---|---|
| Умножение / деление | результат «+»: $(-)\cdot(-)=+$ | результат «−»: $(+)\cdot(-)=-$ |
| Сложение | складываем модули, знак общий | вычитаем меньший модуль из большего, знак — у большего по модулю |
Приводим к общему знаменателю, складываем (вычитаем) числители.
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$.
Перемножаем числители и знаменатели (удобно сократить заранее).
$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{3\cdot 2}{4\cdot 9} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
Деление на дробь — это умножение на обратную (перевёрнутую) дробь.
$\dfrac{5}{6} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4} = 1\tfrac14$.
На множестве $\mathbb{Q}$ сложение и умножение подчиняются тем же законам, что и для целых чисел — поэтому выражения можно перегруппировывать ради удобства счёта.
| Свойство | Запись |
|---|---|
| Переместительное (сложение) | $a + b = b + a$ |
| Сочетательное (сложение) | $(a+b)+c = a+(b+c)$ |
| Переместительное (умножение) | $a\cdot b = b\cdot a$ |
| Сочетательное (умножение) | $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$ |
| Распределительное | $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c$ |
| Ноль и единица | $a+0=a$, $a\cdot 1 = a$ |
| Противоположное и обратное | $a+(-a)=0$, $a\cdot\tfrac1a=1$ ($a\ne0$) |
Числа, десятичная запись которых бесконечна и непериодична, нельзя записать в виде $\tfrac{m}{n}$. Их называют иррациональными.
Рациональные и иррациональные вместе образуют действительные числа $\mathbb{R}$.