Напомним начало года: модуль числа — расстояние от нуля до него на координатной прямой. Расстояние отрицательным не бывает, поэтому модуль всегда неотрицателен.
Отсюда сразу главное свойство будущего графика: он не опускается ниже оси \(Ox\) ни в одной точке.
Заполним таблицу по определению. Видно закономерность: противоположным иксам отвечает одно и то же значение — у −3 и 3 модуль общий.
Прежде чем строить, полезно спросить класс, что это значит для чертежа. Ответ: правая и левая половины будут одинаковыми.
Справа от нуля модуль ничего не меняет, и график совпадает с прямой \(y=x\). Слева модуль меняет знак, и получается \(y=-x\).
Две полупрямые сходятся в начале координат — выходит характерный уголок, буква V. Это не парабола: линии прямые, изгиб только в одной точке.
Читаем свойства прямо с чертежа. Функция принимает только неотрицательные значения. Наименьшее значение — нуль, в вершине. Наибольшего нет: ветви уходят вверх без предела.
Обе половинки — зеркальные отражения друг друга относительно оси \(Oy\). Такие функции называют чётными, и это первый пример.
Идём по графику слева направо. До нуля линия опускается — функция убывает; после нуля поднимается — возрастает.
Точка \(x=0\) — граница между этими промежутками. У прямой такого не бывает: она либо всё время растёт, либо всё время убывает.
Уравнение \(|x|=3\) спрашивает: какие числа удалены от нуля на три? Таких два — 3 и −3. Это же видно по графику: горизонтальная прямая \(y=3\) пересекает уголок в двух точках.
При нуле точка одна, при отрицательном значении прямая проходит ниже уголка и не пересекает его вовсе — корней нет.
Прибавили число снаружи — весь график поднялся. Вычли число внутри модуля — уголок уехал вправо. Форма при этом не меняется, двигается только вершина.
Проверяется одной точкой: у \(y=|x-3|\) вершина там, где модуль обращается в нуль, то есть при \(x=3\). Подробно эти сдвиги разбирают в девятом классе, но увидеть их полезно уже сейчас.
Три графика полезно нарисовать рядом. У всех троих значение в нуле равно нулю, но ведут себя они по-разному: прямая уходит вниз слева, уголок и парабола — нет.
Разница между уголком и параболой: у уголка стороны прямые и есть острый излом, у параболы — плавный изгиб. В задании на соответствие графиков их путают чаще всего.
В ОГЭ уголок появляется в задании на соответствие функций и графиков — его нужно узнавать с первого взгляда, наравне с прямой, параболой и гиперболой.
Дальше он понадобится в неравенствах с модулем: там ответ как раз читается по графику.
Три ошибки: решают уравнение с отрицательной правой частью, выносят минус из-под модуля, рисуют вместо уголка плавную кривую.
Первую снимает вопрос «бывает ли расстояние отрицательным», вторую — подстановка числа: \(|-5|=5\), а \(-|5|=-5\), это разные вещи.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.