Весь урок держится на двух утверждениях. Смежные углы в сумме дают 180°, вертикальные равны между собой.
Дальше в курсе к ним добавятся углы при параллельных, и почти любая задача на готовый чертёж будет решаться цепочкой из этих трёх фактов.
Два угла называют смежными, если у них общая сторона, а две другие стороны составляют прямую.
Определение стоит проговорить целиком: не всякие соседние углы смежные. Если стороны не образуют прямую, сумма 180° не работает.
Развёрнутый угол AOB равен 180°, а луч OC делит его на два. Поэтому ∠AOC + ∠COB = 180°: 125° + 55°. Знаешь один смежный — второй считается вычитанием.
Доказательство короткое: вместе смежные углы составляют развёрнутый угол, а он равен 180° по определению градуса.
Отсюда сразу следствие: если один из смежных углов известен, второй находится вычитанием. И ещё одно — смежные углы равны только тогда, когда оба прямые.
Вертикальные углы получаются при пересечении двух прямых: стороны одного являются продолжениями сторон другого.
Слово «вертикальные» сбивает с толку — с направлением «вверх» оно не связано. Проще запомнить по картинке: они смотрят друг на друга через вершину.
Вертикальные углы лежат напротив друг друга через точку пересечения и равны. Пар всегда две: ∠1 и ∠3, а ещё ∠2 и ∠4 (пунктиром). Соседние углы вертикальными не бывают — они смежные.
Оба вертикальных угла смежны с одним и тем же третьим углом, а значит, каждый равен \(180^\circ\) минус этот угол. Отсюда они равны между собой.
Это первое настоящее доказательство в курсе: три строчки, но выведено из уже известного. Стоит записать его на доске полностью — дальше такие рассуждения станут привычными.
При пересечении двух прямых образуются четыре угла, и по одному известному находятся все остальные: соседние дополняют до 180°, противоположные равны.
Заметьте закономерность: значений всего два, и они в сумме дают 180°. Все четыре угла равны только в одном случае — когда прямые перпендикулярны.
Синие углы вертикальные — они равны. Синий и зелёный рядом — смежные, вместе 180°. Значений всего два, и в сумме они дают развёрнутый угол.
Самая частая задача темы. Меньший угол обозначаем буквой, больший выражаем через неё, сумму приравниваем к 180°.
Обязательно проверяйте ответ по условию: 110 действительно на 40 больше 70, и вместе они дают 180. Эта проверка занимает пять секунд и ловит арифметику.
Если про углы известно отношение, обозначаем их \(2x\) и \(3x\). Тогда сумма даёт \(5x=180\), и каждый угол находится подстановкой.
Тот же приём работает для любых отношений и для вертикальных углов в связке со смежными.
Главная путаница — приписать вертикальным углам сумму 180°, а смежным равенство. Ориентир простой: равны те, что напротив, а дополняют до 180° те, что рядом.
Вторая ошибка — считать смежными углы, у которых стороны не образуют прямую. Всегда проверяйте по чертежу, а не по расположению «рядышком».
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.