Углы: из чего состоят, как обозначаются, как измеряются и где транспортир обманывает.
Угол — это два луча, выходящие из одной точки. Точка называется вершиной, лучи — сторонами угла.
Важно с самого начала: стороны — это лучи, они бесконечны. Длина того, что нарисовано на доске, к величине угла отношения не имеет.
В записи ∠AOB вершина всегда посередине. Стороны — лучи, их длина на чертеже ничего не значит.
Три способа записи. Тремя буквами — и вершина всегда посередине: ∠AOB, но не ∠OAB. Одной буквой — когда при вершине только один угол. Цифрой — когда углы пронумерованы на чертеже.
Запись тремя буквами кажется лишней ровно до первой задачи, где при одной вершине сходятся три угла: там без неё не объясниться.
Измерить угол — значит узнать, сколько раз в нём укладывается единичный угол. За единицу приняли градус: одна сто восьмидесятая развёрнутого угла.
Число 180 досталось нам от вавилонян с их счётом дюжинами и шестёрками. Удобство в том, что 180 делится на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 — углы получаются «круглыми».
Порядок всегда один: совмещаем центр транспортира с вершиной, одну сторону кладём на нулевую отметку, смотрим, где вторая сторона пересекает шкалу.
Если сторона короткая и до шкалы не достаёт, её мысленно продолжают: угол от этого не меняется.
На транспортире две шкалы, и в этом вся беда: 40° и 140° стоят на одном штрихе. Прибор не подскажет, какое число ваше.
Спасает прикидка на глаз: сначала решаем, острый угол или тупой, и только потом читаем шкалу. Меньше прямого — берём число меньше 90, больше — большее.
Названия даются по сравнению с прямым углом. Прямой — ровно 90°, острый меньше, тупой больше, но до развёрнутого.
Хороший образ для класса — часы: в 3:00 стрелки образуют прямой угол, в 5:00 тупой, в 1:00 острый.
Имя углу даёт сравнение с прямым: меньше 90° — острый, ровно 90° — прямой, больше 90°, но меньше 180° — тупой.
Углы сравнивают наложением или измерением. Главное заблуждение темы: «у этого угла стороны длиннее, значит, он больше». Нет — стороны это лучи, их длина произвольна.
Покажите классу два одинаковых угла с разной длиной нарисованных сторон: это снимает вопрос раз и навсегда.
Луч, проведённый внутри угла из его вершины, делит угол на два, и они складываются в целый.
Из этого простого равенства решается большинство задач: составили сумму, подставили известное, нашли неизвестное.
Биссектриса — луч, выходящий из вершины и делящий угол на два равных. Слово латинское и означает «рассекающая надвое».
Биссектриса развёрнутого угла даёт два прямых — это стоит показать на доске: отсюда видно, почему прямой угол равен 90°.
Типовая задача: угол разделён лучом, про части известно, на сколько или во сколько раз одна больше другой. Обозначаем меньшую часть буквой, вторую выражаем через неё, складываем и приравниваем к целому углу.
Тот же приём работает, если части относятся как 2 : 3 — тогда это \(2x\) и \(3x\), а сумма равна всему углу.
Три ошибки: вершина не на месте в записи, выбрана не та шкала транспортира, угол оценивается по длине нарисованных сторон.
Все три снимаются одной привычкой — сначала посмотреть на угол и сказать вслух, острый он или тупой, и только потом писать число.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.