Параллельные прямые и секущая: три пары углов, признаки и один способ не запутаться.
Секущая — прямая, пересекающая две другие. При каждой точке пересечения образуется по четыре угла, всего восемь.
Про каждую четвёрку мы уже всё знаем с прошлого урока: соседние дают 180°, противоположные равны. Новое — как связаны углы при разных вершинах.
Накрест лежащие — 3 и 5, 4 и 6: внутри, по разные стороны от секущей. Соответственные — 1 и 5, 4 и 8: с одной стороны, один внутри, другой снаружи. Односторонние — 4 и 5, 3 и 6: внутри, с одной стороны.
Углы между прямыми называют внутренними, снаружи — внешними. Пары различают по двум признакам: с одной стороны от секущей они или с разных, внутри или снаружи.
На доске полезно закрасить внутреннюю полосу мелом: тогда «внутри» и «снаружи» перестают быть словами и становятся местом на чертеже.
Три свойства — но только при параллельных прямых. Если прямые не параллельны, ни одно из них не работает.
Второе и третье выводятся из первого через вертикальные и смежные углы. Полезно один раз показать этот вывод: тогда правила не приходится зубрить.
Практический вывод, который экономит время на экзамене: при параллельных прямых все восемь углов принимают всего два значения, и вместе эти значения дают 180°.
Достаточно определить, острый угол или тупой, — и ответ известен. Три правила запоминать не обязательно.
Обратные утверждения тоже верны и называются признаками: по равенству углов заключают, что прямые параллельны.
Именно признаки работают в задачах на доказательство и при построении параллельных прямых с помощью угольника.
Это разные утверждения, и путать их нельзя. В свойстве параллельность дана, а про углы делается вывод. В признаке наоборот.
В задачах на доказательство за подмену одного другим снимают баллы, поэтому стоит проговорить вслух: «дано… значит…» — и проверить направление стрелки.
В задаче обычно дан один угол, а спрашивают дальний. Идём шагами: вертикальный равен, смежный дополняет до 180°, через секущую переходим по соответственным.
Правило работы у доски: каждый найденный угол сразу подписывайте на чертеже. Тогда цепочка видна глазами и не приходится держать её в голове.
Если про углы известно, на сколько один больше другого, составляем уравнение. Для односторонних сумма равна 180°, для накрест лежащих и соответственных — равенство.
Проверка обязательна: 70 и 110 в сумме дают 180, и разница действительно 40.
Первая и главная ошибка — пользоваться свойствами там, где параллельность не дана. Прежде чем писать «углы равны», найдите в условии или на чертеже знак параллельности.
Вторая — перепутать пары. Помогает вопрос из двух частей: с одной стороны от секущей углы или с разных, оба внутри или нет.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.