Тема выглядит как отдельная арифметика, но без неё не делается почти ничего. Чтобы сократить дробь, нужно увидеть общий делитель числителя и знаменателя. Чтобы сложить дроби, нужен общий знаменатель — а это общее кратное.
Дальше в алгебре то же самое понадобится для сокращения алгебраических дробей, а в задачах — для раскладки на равные части: плитка, коробки, расписание автобусов.
Два слова, которые постоянно путают. Делитель — то, на что делят: он меньше или равен числу. Кратное — то, что получается умножением: оно больше или равно числу.
У любого числа есть как минимум два делителя — единица и оно само. И бесконечно много кратных: 12, 24, 36, 48 и дальше без конца.
Здесь достаточно посмотреть на последнюю цифру: на 2 делятся числа с чётной последней цифрой, на 5 — с цифрой 0 или 5, на 10 — только с нулём.
Почему хватает одной цифры: все разряды выше единиц — это десятки, сотни, тысячи, и каждый из них уже делится и на 2, и на 5. Значит, судьбу всего числа решает только остаток в единицах.
Здесь последняя цифра не поможет, зато помогает сумма цифр: если она делится на 3, то и число делится на 3; если на 9 — то и число на 9.
Работает это потому, что 9, 99, 999 делятся на 3 и на 9. Число \(4716\) — это \(4\cdot 999+7\cdot 99+1\cdot 9\) плюс сама сумма цифр: всё, кроме суммы, делится заведомо.
Приём для устного счёта: из суммы можно выбрасывать девятки и пары цифр, дающие девять. В числе 3 816 сразу видны две такие пары — \(3+6\) и \(8+1\). Обе выбросили, не осталось ничего: число делится на 9.
Эти признаки в учебнике встречаются реже, а в задачах — постоянно. Смотрим на две последние цифры: если число из них делится на 4, то и всё число делится на 4. То же самое с 25.
Причина та же, что и раньше: сотни, тысячи и старше делятся и на 4, и на 25, потому что на них делится 100.
Отдельного признака делимости на 6 не нужно: число делится на 6, если делится и на 2, и на 3. Точно так же собираются признаки на 15, на 12, на 45.
Важная тонкость: множители должны быть взаимно простыми. Сказать «на 12 — это на 2 и на 6» нельзя: число 18 делится и на 2, и на 6, а на 12 не делится. Поэтому берут 4 и 3, у которых общих делителей нет.
Простое число имеет ровно два делителя — единицу и себя: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Составное раскладывается на простые множители, и притом единственным способом.
Раскладывают столбиком: делим на 2, пока делится, потом на 3, потом на 5 и дальше по списку простых. Здесь и пригождаются признаки — они подсказывают, на что делить, без перебора.
НОД — самое большое число, на которое делятся оба. Для небольших чисел его видно перебором делителей, а в общем случае берут разложения и выписывают общие простые множители в наименьшей степени.
Что это значит на деле: НОД — самая крупная «мерка», которой можно измерить оба числа без остатка. Наибольшая квадратная плитка для пола 360 на 84 см — ровно 12 см.
НОК — самое маленькое число, которое делится на оба. По разложениям: берём все простые множители в наибольшей степени.
Смысл — «когда сойдутся». Один автобус ходит раз в 12 минут, другой раз в 18; вместе они окажутся на остановке через 36 минут. Тот же НОК — это общий знаменатель дробей.
Быстрая проверка: произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
Первая ошибка — перепутать НОД и НОК. Спасает прикидка: НОД не может быть больше меньшего из чисел, а НОК — меньше большего. Получили 2520 там, где спрашивали делитель, — значит, перепутали.
Вторая — взять в НОД лишние множители, которых нет во втором разложении. Третья — считать признаком делимости на 12 проверку «на 2 и на 6».
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.