Проценты — самая «жизненная» тема курса: ценники, вклады, статистика, тарифы. В ОГЭ они встречаются и в практических заданиях 1–5, и во второй части.
Хорошая новость: все задачи на проценты решаются одним приёмом, если перестать заучивать три отдельных правила.
Процент — не особое число, а сотая доля. Значит, любое «сколько-то процентов» сразу переписывается десятичной дробью, и слово «процент» можно забыть до конца задачи.
Перевод в обе стороны: чтобы получить дробь, делим на 100; чтобы получить проценты, умножаем на 100. Запятая просто едет на два знака.
Эти шесть равенств стоит знать в лицо: с ними половина задач считается устно. «Скидка 25%» — это четверть цены, «выросло на 50%» — это в полтора раза.
Приём для устного счёта: 10% — это разделить на 10, а дальше собирать. 30% = три раза по 10%, 5% = половина от 10%, 15% = 10% плюс 5%.
Первый тип задач: известно целое, ищем часть. Переводим проценты в дробь и умножаем.
Скидка 18% на товар за 250 рублей — это 45 рублей скидки. Заплатим \(250-45=205\), но короче сразу: \(250\cdot 0{,}82=205\).
Второй тип: часть и целое известны, ищем проценты. Делим часть на целое и умножаем на 100%.
Главная ошибка — перепутать, что на что делить. Внизу всегда то, что принято за целое, то есть за 100%. Если спрашивают «на сколько процентов больше», то внизу стоит то, с чем сравнивают.
Третий тип: известны часть и её процент, ищем целое. Здесь делим часть на дробь.
Проверка одна и та же: подставьте найденное целое обратно и возьмите от него нужный процент — должна получиться исходная часть.
Три типа задач — это одно равенство с тремя буквами. Известны любые два числа, третье находится делением или умножением.
Такой взгляд снимает необходимость помнить, когда делить, а когда умножать: достаточно посмотреть, чего в равенстве не хватает.
Удобнее всего считать изменения множителем: рост на 20% — это умножение на 1,2, падение на 20% — на 0,8.
Множители можно перемножать подряд, поэтому несколько изменений считаются одной строкой, без промежуточных «сколько рублей».
Цену подняли на 20%, потом опустили на 20% — она стала меньше исходной. Причина в том, что второй процент считается уже от новой, большей цены.
Это любимая ловушка составителей: проценты нельзя складывать и вычитать, пока они берутся от разных величин.
Первая ошибка — складывать проценты от разных баз: две скидки по 30% дают не 60%, а 51%.
Вторая — делить не на то: при вопросе «на сколько процентов больше» внизу стоит старое значение, а не новое. Третья — забыть перевести проценты в дробь и умножить на 18 вместо 0,18: ответ вырастает в сто раз, и это видно прикидкой.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.