Вокруг полно пар величин, где вторая зависит от первой: проехали дольше — уехали дальше, взяли больше — заплатили больше.
Чтобы говорить о таких зависимостях одинаково — про движение, покупки и площади сразу, — и придумали слово «функция». Дальше весь курс алгебры строится вокруг него.
Функция — правило, которое каждому допустимому значению \(x\) сопоставляет ровно одно значение \(y\).
Слова «ровно одно» — самое важное в определении. Разным иксам может отвечать один и тот же игрек, это нормально. А вот одному иксу два разных игрека — уже не функция.
Аргумент — то, что подставляем; значение — то, что получаем. Запись \(f(2)=7\) читается: «при аргументе два значение функции равно семи».
Скобки здесь не умножение — это обозначение подстановки. Об этом стоит сказать отдельно: запись \(f(2)\) часто читают как «эф умножить на два».
Одну и ту же зависимость можно задать по-разному. Формула удобна для вычислений, таблица — для конкретных значений, график — чтобы увидеть поведение целиком, слова — чтобы описать правило.
Полезное упражнение на урок: взять одну функцию и записать её всеми четырьмя способами подряд.
Два обратных вопроса. «Найти значение функции» — подставить \(x\) и посчитать. «Найти аргумент по значению» — решить уравнение.
Второй вопрос сложнее и встречается чаще, чем кажется: любое «при каком x функция равна …» — это уравнение.
График — множество точек \((x;\,y)\), где \(y\) — значение функции в этой точке. Строят по таблице: посчитали несколько значений, отметили точки, соединили.
Важная оговорка: соединять плавной линией можно только тогда, когда функция определена между точками. Для «числа тетрадей» линии не будет — там отдельные точки.
Главный навык темы и самое частое задание ОГЭ. Чтобы найти значение по графику, идут от оси \(Ox\) вверх до линии и оттуда влево на ось \(Oy\).
Так же читаются наибольшее и наименьшее значения, промежутки роста и убывания, нули функции — точки пересечения с осью \(Ox\).
Не всякое число можно подставить: на нуль не делят, из отрицательного не извлекают квадратный корень. Множество допустимых \(x\) называют областью определения.
В седьмом классе хватает двух правил — про нуль в знаменателе и про корень. Оба стоит записать на полях: они всплывут в каждой следующей теме.
Нарисуем окружность и проведём вертикальную прямую: она пересекает линию в двух точках. Значит, одному \(x\) отвечают два \(y\), и это не график функции.
Отсюда простая проверка: если любая вертикальная прямая пересекает линию не более одного раза — перед нами функция. Проверка занимает секунду и решает задание на распознавание.
Три ошибки: приняли скобки за умножение, при чтении графика перепутали оси, соединили отдельные точки линией.
Против второй помогает проговаривание порядка вслух: «от икса вверх, потом влево». Пара повторений — и класс перестаёт путаться.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.