Равнобедренный треугольник — тот, у которого две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, третью — основанием.
Слова важны: «угол при вершине» — это угол между боковыми сторонами, «углы при основании» — два других. Половина ошибок в задачах начинается с того, что перепутали, о каком угле речь.
Главное свойство: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Оно кажется очевидным по чертежу, но доказывается строго.
Доказательство: проведём биссектрису из вершины \(B\). Получатся два треугольника с двумя равными сторонами и равным углом между ними — они равны по первому признаку, а значит, равны и углы при основании.
Верно и обратное: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный, и стороны против этих углов равны.
Свойство и признак стоит различать, как и с параллельными прямыми: одно даёт углы по сторонам, другое — стороны по углам. В задачах на доказательство ссылаться нужно на то, что подходит по направлению.
В равнобедренном треугольнике линия, проведённая из вершины к основанию, оказывается сразу и биссектрисой, и медианой, и высотой.
Это самое рабочее свойство темы: провели одну линию — получили сразу прямой угол, равные отрезки и равные углы. С неё начинается решение большинства задач.
Зелёные отметки — равные боковые стороны и равные углы при основании. Синяя линия BH сразу медиана (делит основание пополам, оранжевые отметки), биссектриса и высота (прямой угол).
Та же линия — ось симметрии: перегнув чертёж по ней, мы совместим половинки треугольника.
Отсюда наглядно видно, почему углы при основании равны: при перегибе один ложится на другой. Симметрию полезно показать на бумаге — после этого свойство не забывается.
Равносторонний треугольник равнобедренный сразу тремя способами: какую сторону ни назови основанием, две другие равны.
Поэтому у него равны все углы, и каждый равен 60°. И у него три оси симметрии, а не одна.
Дан угол при вершине — находим углы при основании: вычли из 180° и разделили пополам.
Обратная задача: дан угол при основании 70°, тогда второй тоже 70°, а угол при вершине \(180-140=40^\circ\). Важно с самого начала понять, какой угол дан, — иначе решение пойдёт не туда.
Классическая ловушка. Даны две стороны, спрашивают периметр — и кажется, что ответов два. Но один из вариантов невозможен: две коротких стороны не дотянутся до длинной.
Проверка — неравенство треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей. Об этом подробно на следующем уроке, а здесь оно уже нужно.
Равнобедренный треугольник вылезает всюду: в равнобедренной трапеции, в ромбе, в любом треугольнике, где провели биссектрису и получили равные углы.
Полезная примета для задач: увидели два равных угла — ищите равные стороны, и наоборот. Это часто и есть недостающее звено решения.
Три ошибки: не разобрались, какой угол дан; не проверили неравенство треугольника; перенесли свойство «три линии в одной» на обычный треугольник.
Последнее особенно коварно: в произвольном треугольнике высота, медиана и биссектриса — три разные линии. Совпадают они только в равнобедренном, и только проведённые к основанию.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.