Уравнение — равенство с неизвестным. Корень — число, при подстановке которого равенство становится верным. Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет.
Проверка встроена в само определение: подставили — сошлось. Этим стоит пользоваться каждый раз, а не только когда просят.
Уравнение — как весы: пока с обеими чашами делают одно и то же, равновесие сохраняется. Прибавили к обеим частям пятёрку — корни те же. Умножили обе части на два — тоже.
Единственный запрет: делить на нуль. Позже добавится и второй — не делить на выражение с неизвестным, иначе корни теряются.
Перенос слагаемого — не отдельное правило, а короткая запись прибавления. Прибавили к обеим частям пятёрку: слева она уничтожилась, справа появилась.
Поэтому знак и меняется. Если проговорить это один раз честно, ученики перестают переносить «как повезёт» и начинают проверять себя.
Порядок один и тот же для любого линейного уравнения. Он же — план записи в тетради: каждое действие новой строкой.
Требуйте одну операцию на строку. Ошибки почти всегда появляются там, где ученик делает перенос и приведение подобных одновременно.
Пример на все шаги сразу. Раскрыли скобку, собрали иксы слева, числа справа, привели подобные, разделили на коэффициент.
Отрицательный коэффициент пугает, хотя ничего особенного в нём нет: делим на −3 и получаем −4. Можно было собрать иксы справа и получить \(3x=-12\) — ответ тот же.
Считаем левую и правую части отдельно и сравниваем. Если сошлось — корень найден верно, независимо от того, как он получен.
Это единственная тема, где проверка стоит ровно ничего и даёт полную уверенность. На контрольной её стоит делать всегда.
Иногда иксы уничтожаются, а числа не сходятся. Получилось равенство \(0\cdot x=2\), которое неверно ни при каком \(x\) — корней нет.
Это не ошибка решения и не тупик: это и есть ответ. Так и записывают: «корней нет».
Второй особый случай: иксы уничтожились, и числа тоже сошлись. Равенство верно при любом \(x\) — корней бесконечно много.
Полезно показать оба случая подряд: они отличаются одной цифрой, а ответы противоположны. Это лучшее упражнение на внимательность в теме.
Дроби убирают в один ход: обе части умножают на общий знаменатель. Здесь это 6 — наименьшее общее кратное двойки и тройки.
Умножать надо каждое слагаемое, включая правую часть. Забытая пятёрка справа — классическая потеря.
Линейное уравнение — рабочий инструмент, а не отдельная тема. Через него решаются текстовые задачи, из него выражают величины в физике, на нём стоят задания 9 и 20 в ОГЭ.
Поэтому здесь важнее не скорость, а надёжность: аккуратная запись и проверка.
Три ошибки: перенесли без смены знака, потеряли минус при делении, умножили на скобку не всё.
Все три ловит подстановка найденного корня в исходное уравнение — та самая проверка из третьего шага. Одно действие, и работа сдана без ошибок.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.