Линейная функция задаётся формулой \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) — числа. Число \(k\) называют угловым коэффициентом, \(b\) — свободным членом.
Постоянная \(y=5\) тоже линейная: здесь \(k=0\). А вот \(y=x^2\) уже нет — икс должен входить только в первой степени.
График линейной функции — прямая. А через две точки проходит ровно одна прямая, значит, для построения достаточно двух точек.
Третью точку полезно взять для проверки: если она не легла на прямую, где-то ошибка в вычислениях.
Угловой коэффициент отвечает за наклон. Положительный \(k\) — функция возрастает, отрицательный — убывает, нулевой — прямая горизонтальна.
Величина \(|k|\) — крутизна: у \(y=5x\) прямая заметно круче, чем у \(y=0{,}2x\). Смысл прямой: на сколько поднимется \(y\), если \(x\) увеличить на единицу.
Свободный член — это значение функции при \(x=0\), то есть высота, на которой прямая пересекает ось \(Oy\).
Отсюда быстрый способ читать график: посмотрели, где линия пересекает вертикальную ось, — узнали \(b\) без всяких вычислений.
Удобнее всего брать точки пересечения с осями: подставили \(x=0\), потом \(y=0\). Оба вычисления устные, а точки получаются далеко друг от друга — прямая строится точнее.
Если прямая проходит через начало координат, второй способ не сработает: там придётся взять любой другой \(x\).
Если \(b=0\), формула превращается в \(y=kx\) — это прямая пропорциональность из прошлых уроков. Её график всегда проходит через начало координат.
Наоборот тоже верно: если прямая проходит через \((0;0)\), свободный член нулевой. Это первое, на что смотрят при чтении графика.
Наклон задаётся только коэффициентом \(k\). Значит, две прямые с одинаковым \(k\) и разными \(b\) параллельны: они наклонены одинаково, но подняты на разную высоту.
А если у прямых одинаковые и \(k\), и \(b\), это одна и та же прямая. Так решается вопрос «сколько решений у системы» из прошлого урока.
Обратная задача, и в ОГЭ она встречается чаще прямой. Сначала читаем \(b\) — точку пересечения с осью \(Oy\). Потом \(k\): сдвигаемся по прямой вправо на одну клетку и смотрим, на сколько поднялись или опустились.
Если прямая идёт вниз, \(k\) отрицательный. Дробный \(k\) виден так же: вправо на 2, вверх на 1 — значит, \(k=\tfrac{1}{2}\).
Отдельный тип задания: формулу не спрашивают, спрашивают только знаки. Смотрим на две вещи — куда идёт прямая (знак \(k\)) и где она пересекает ось \(Oy\) (знак \(b\)).
Это задание решается за пять секунд, если не путать оси. Проверяйте себя вопросом: «поднимается слева направо?» — да, значит \(k>0\).
Три ошибки: приняли за \(k\) точку пересечения, определяли наклон не по той оси, не признали линейной постоянную функцию.
Лекарство одно и быстрое: подставить \(x=0\). Полученный игрек и есть \(b\), а дальше по одной клетке вправо находим \(k\).
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.