Когда неизвестных две, одного уравнения мало: пар чисел, дающих в сумме 90, бесконечно много. Второе условие отсекает лишние и оставляет единственную пару.
Правило простое: сколько неизвестных, столько нужно независимых условий. Это и есть система — несколько уравнений, которые должны выполняться одновременно.
Решение системы — не одно число, а пара чисел, при которой верны сразу оба уравнения. Записывают её парой, в скобках, через точку с запятой.
Проверка тоже двойная: подставить и в первое уравнение, и во второе. Сошлось только одно — значит, не решение.
Идея: выразить одну неизвестную через другую и подставить во второе уравнение. Двух неизвестных больше нет — остаётся привычное линейное уравнение.
Выражать удобнее ту переменную, у которой коэффициент равен единице: тогда не появляются дроби.
Второй способ: сложить уравнения так, чтобы одна неизвестная исчезла. Здесь у \(x\) противоположные коэффициенты — при сложении они уничтожаются.
Складывают почленно: левые части с левыми, правые с правыми. Это законно, потому что к равному прибавляем равное.
Если противоположных коэффициентов нет, их делают: умножают одно или оба уравнения на подходящие числа.
Умножать нужно всё уравнение целиком, включая правую часть. Забытая правая часть — главная ошибка способа.
Оба способа дают один ответ, но один из них обычно короче. Если какая-то неизвестная стоит с коэффициентом единица — быстрее подстановка. Если коэффициенты одинаковые или противоположные — сложение.
Полезно на уроке решить одну систему обоими способами и сравнить количество строк: аргумент нагляднее любых советов.
Каждое линейное уравнение с двумя неизвестными — это прямая на координатной плоскости. Решение системы — точка, лежащая сразу на обеих прямых, то есть точка их пересечения.
Отсюда видно, почему решение обычно одно: две непараллельные прямые пересекаются ровно в одной точке.
Два особых случая — те же, что у обычного уравнения. Если при решении обе неизвестные уничтожились и осталось неверное равенство (например, \(0=5\)), прямые параллельны и решений нет.
Если осталось верное равенство \(0=0\), уравнения задают одну и ту же прямую: решений бесконечно много.
Схема та же, что в текстовых задачах: обозначили обе величины буквами, каждое условие превратили в уравнение.
Здесь система удобнее одного уравнения: не нужно выражать одно через другое в уме — оба условия записываются прямо по тексту.
Три ошибки: забыли найти вторую неизвестную, умножили уравнение наполовину, проверили решение только в одном уравнении.
Первая обиднее всех: работа сделана целиком, а ответ неполный. Возьмите за правило дописывать пару в скобках — тогда пропущенная вторая неизвестная бросается в глаза.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.