Одночлен — кирпичик, из которого сложен многочлен. Пока не научимся уверенно обращаться с одним кирпичиком, из них ничего не построишь: ни формулы сокращённого умножения, ни разложение на множители.
Поэтому урок скучноватый, но окупается весь следующий раздел.
Одночлен — произведение чисел и букв в натуральных степенях. Внутри не должно быть сложения и вычитания, деления на букву и корней.
Отдельное число тоже считается одночленом — просто без букв.
Стандартный вид — когда число стоит впереди, а одинаковые буквы собраны в степени и записаны по алфавиту. Приводя к нему, перемножаем отдельно числа и отдельно буквы.
Число впереди называют коэффициентом. У одночлена \(6a^2b\) коэффициент 6, у \(-x\) — минус единица.
Степень одночлена — сумма степеней всех его букв. У одночлена без букв степень нулевая.
Понятие пригодится сразу: степень многочлена определяется как наибольшая степень его одночленов.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. Причина видна из записи: \(x^4\cdot x^3\) — это семь иксов подряд.
В общем случае перемножаем коэффициенты и складываем показатели у каждой буквы отдельно.
При возведении степени в степень показатели умножаются. А при возведении в степень целого одночлена возводится и коэффициент тоже: \((2a^3)^2=4a^6\), а не \(2a^6\).
Забытый коэффициент — самая частая ошибка темы. Проверка: подставьте \(a=1\), тогда \((2\cdot 1)^2=4\).
При делении показатели вычитаются, коэффициенты делятся. Это то же сокращение дроби, только записанное в строчку.
В седьмом классе договариваемся, что показатель сверху не меньше, чем снизу: отрицательные степени будут в восьмом.
Складывать можно только подобные одночлены — с одинаковой буквенной частью. Тогда складываются коэффициенты, а буквы переписываются.
Обратите внимание: при умножении буквы «срастаются» в новые степени, а при сложении остаются как есть. Это разные действия, и путать их нельзя.
Три ошибки, которые встречаются в каждой работе: умножили показатели вместо сложения, забыли возвести коэффициент, приписали степень при сложении.
Лечится подстановкой \(a=2\) или \(x=2\): все три ошибки сразу дают несовпадение, и ученик видит это сам, без объяснений.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.
Задачи с проверкой ответа и разбором ошибок — закрепить урок самостоятельно.