У уравнения ответ — число или несколько чисел, их легко перечислить. У неравенства ответов бесконечно много: 3,1 и 3,01 и 1000 — все подходят. Перечислить нельзя, значит, нужен способ записать их одной строкой.
Такой способ и есть числовой промежуток. Он же — стандарт записи ответа в ОГЭ, поэтому важно не только решить неравенство, но и оформить ответ.
Промежуток удобнее сначала нарисовать. Точка на прямой бывает двух видов: пустая — само число не входит, закрашенная — входит.
Строгое неравенство (>, <) даёт пустую точку, нестрогое (≥, ≤) — закрашенную. Всё остальное в теме выводится из этой картинки.
Запись повторяет чертёж: круглая скобка — пустая точка, число не входит; квадратная — закрашенная, число входит.
Скобки разные у каждого конца, и путать их нельзя: от этого зависит, верен ответ или нет. Полезное правило для класса: «круглая — не входит, квадратная — входит».
Три названия для трёх случаев. Отрезок — оба конца входят, интервал — ни один, полуинтервал — один из двух.
Названия спрашивают редко, а вот записывать нужно верно всегда. Ориентируйтесь не на слово, а на чертёж: закрашена точка или нет.
Когда переменная зажата с двух сторон, пишут двойное неравенство. Читается оно как два условия сразу: \(x\ge -2\) и \(x<5\).
Каждому концу — своя скобка по своему знаку. Здесь слева нестрогий знак, значит квадратная, справа строгий — круглая.
Возле бесконечности скобка всегда круглая. Причина простая: бесконечность — не число, «войти» в промежуток ей нечем.
Знак минус бесконечность пишут слева, плюс — справа, как на прямой. Квадратная скобка рядом с ∞ — верная ошибка.
Слово «и» означает, что выполняются оба условия сразу — берём общую часть промежутков. На чертеже это участок, закрашенный дважды.
Общей части может и не быть: у \(x>6\) и \(x<1\) она пуста, а значит, таких чисел не существует.
Слово «или» означает, что достаточно одного условия — берём оба куска вместе. Записывают через значок объединения.
Такой ответ выглядит непривычно, но он законный и в ОГЭ встречается: например, у неравенств с модулем.
Порядок такой: решили неравенство, нарисовали прямую, записали промежуток. Чертёж — не лишний шаг, он и защищает от ошибки со скобками.
Если в задании просят «наименьшее целое решение», ответом будет число, а не промежуток: перечитывайте вопрос.
Три ошибки: перепутали скобку у конца, поставили квадратную у бесконечности, взяли объединение вместо пересечения.
Все три снимаются чертежом. Пока класс не привык, требуйте рисовать прямую даже там, где ответ очевиден: тридцать секунд против потерянного балла.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.