Многочлен — сумма одночленов. Каждое слагаемое называют членом многочлена, причём знак относится к члену: в записи \(3x^2-5x+2\) второй член равен \(-5x\), а не \(5x\).
Многочлен из двух членов называют двучленом, из трёх — трёхчленом. Эти слова пригодятся в следующей теме, когда пойдут формулы сокращённого умножения.
Многочлен в стандартном виде — это когда подобные члены приведены, а сами члены расставлены по убыванию степени.
Такой порядок нужен не для красоты: в нём сразу видна степень многочлена и легко сравнивать два многочлена между собой.
Степень многочлена — наибольшая из степеней его членов. Определять её надо после приведения подобных: иначе старший член может сократиться, и ответ будет неверным.
Если букв несколько, степень члена — сумма степеней букв: у \(x^2y\) она равна трём.
Значение находят подстановкой: вместо буквы ставим число и считаем по обычному порядку действий. Отрицательное число подставляем в скобках.
Это же действие служит проверкой всех дальнейших преобразований — им мы будем пользоваться до конца урока.
Складывая, скобки просто снимаем — знаки внутри не трогаем — и приводим подобные.
Обратите внимание на исчезнувший \(x\): \(-5x+5x=0\). Ученики часто пишут в ответе «0x» или теряют член вовсе; проговорите, что ноль просто не пишут.
Вычитая, меняем знак у каждого члена второго многочлена: минус перед скобкой — это умножение на −1.
Именно здесь теряется больше всего баллов во всей теме. Приём для доски: прежде чем раскрывать скобки, обведите минус и вслух скажите «меняю все знаки». Пока класс не привыкнет — проговаривать каждый раз.
Типовое задание экзамена: сначала упростить, потом подставить. Так считать быстрее и надёжнее, чем подставлять сразу — меньше действий с большими числами.
Полезно показать классу оба пути на одном примере: ответ совпадает, а работы во втором случае вдвое меньше.
Проверка та же, что и в преобразованиях: подставьте одно число в исходное выражение и в ответ. Совпало — идём дальше.
Для многочленов особенно удобно \(x=1\): все степени превращаются в единицы, и остаётся сложить коэффициенты. Но если сомневаетесь в знаках, возьмите ещё и \(x=2\).
Первая ошибка — поменять знак только у первого члена. Вторая — сложить неподобные и приписать степень. Третья — назвать степень многочлена до приведения подобных.
Все три видны при подстановке числа, и это стоит превратить в правило класса: упростил — проверь, потом переписывай.
Задание собирается из тех же генераторов, что и задачник курса: у каждого ученика свои числа, списывать нечего. Ученику нужна только ссылка — ни регистрации, ни установки. Результат придёт таблицей: кто что решил и где споткнулся. Первые две недели — бесплатно, карта не нужна.